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Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

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Sea un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía de es una base de dicha topología si para cada en y cada , existe tal que . Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía de partes de un conjunto es base de una topología si y sólo si:
(a) Para cada , existe al menos un con .
(b) Si pertenece a la intersección de dos elementos y de , entonces existe un que verifica .

Prueba. Supongamos que verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección de los subconjuntos tales que si , entonces existe , de forma que . Probaremos que es una topología sobre . En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que pertenece a . Consideremos ahora dos elementos de . Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea , entonces hallaremos , de forma que y . Aplicando (b) resulta que existe de manera que . Esto prueba que . Sea ahora una familia de elementos de y sea . Entonces hallaremos un índice y un elemento , de manera que . Esto prueba que la unión de los elementos de pertenece a . Así pues es una topología y es claro que y cada elemento de la topología es unión de elementos de . Para acabar, supongamos que es una topología y que es una de sus bases. En tal caso, como , resulta que para cada , es posible hallar un de manera que . Esto prueba (a). Por otro lado, si son elementos de la , entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado , hallaremos , que verifica . Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía de partes de un conjunto es sub-base de una topología si y sólo si la unión de los elementos de la colección es .

Prueba. Consideremos que verifica la condición . Sea la colección de las intersecciones finitas de los elementos de . Probaremos que es una base para una topología de . Evidentemente, es , por lo que si es un elemento de , entonces como la unión de los elementos de es , existe un , tal que y así para cada , existe un tal que (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si , con , es inmediato que pertenece a , pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de y tomando se sigue que , (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva es una base para una topología sobre .
Recíprocamente, si consideramos una subbase , entonces al ser la colección de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada , existe , tal que . Si es uno de los elementos de que intersecados dan lugar a , se sigue que y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo .

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