Curso EVT. Lectura 27. Topología (2)

Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que una subcolección no vacía \mathcal{S} de \mathcal{T} es una base de dicha topología si para cada A en \mathcal{T} y cada x \in A, existe S \in \mathcal{S} tal que x \in S \subset A. Esto viene a significar que todo abierto de la topología es unión de elementos de la base. En general, nos interesa dar una base y construir a partir de ella una topología pero para ello una colección cualquiera de conjuntos ha de cumplir algunas condiciones que detallamos a continuación.

Teorema 1. Una colección no vacía \mathcal{S} de partes de un conjunto X es base de una topología \mathcal{T} si y sólo si:
(a) Para cada x \in X, existe al menos un S \in \mathcal{S} con x \in S.
(b) Si x pertenece a la intersección de dos elementos S_1 y S_2 de \mathcal{S}, entonces existe un S_3 \in \mathcal{S} que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2.

Prueba. Supongamos que \mathcal{S} verifica (a) y (b). Definimos entonces la colección \mathcal{T} de los subconjuntos U \subset X tales que si x \in U, entonces existe S \in \mathcal{S}, de forma que x \in S \subset U. Probaremos que \mathcal{T} es una topología sobre X. En efecto, el vacío cumple la condición por omisión y por (a) resulta que X pertenece a \mathcal{T}. Consideremos ahora dos elementos U,W de \mathcal{T}. Si la intersección es vacía no tenemos nada que probar, sea pues no vacía y sea x \in U \cap W, entonces hallaremos S_1,S_2 \in \mathcal{S}, de forma que x \in S_1 \subset U y x \in S_2 \subset W. Aplicando (b) resulta que existe S_3 \in \mathcal{S} de manera que x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2 \subset U \cap W. Esto prueba que U \cap W \in \mathcal{T}. Sea ahora una familia (U_i)_{i \in I} de elementos de \mathcal{T} y sea x \in \cup_{i \in I} U_i. Entonces hallaremos un índice i_0 \in I y un elemento S \in \mathcal{S}, de manera que x \in S \subset U_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} U_i. Esto prueba que la unión de los elementos de (U_i)_{i \in I} pertenece a \mathcal{T}. Así pues \mathcal{T} es una topología y es claro que \mathcal{S} \subset \mathcal{T} y cada elemento U de la topología \mathcal{T} es unión de elementos de \mathcal{S}. Para acabar, supongamos que \mathcal{T} es una topología y que \mathcal{S} es una de sus bases. En tal caso, como X \in \mathcal{T}, resulta que para cada x \in X , es posible hallar un S \in \mathcal{S} de manera que x \in S \subset X. Esto prueba (a). Por otro lado, si S_1,S_2 son elementos de la \mathcal{S}, entonces su intersección es un abierto y por ello si es no vacía, dado x \in S_1 \cap S_2, hallaremos S_3 \in \mathcal{S}, que verifica x \in S_3 \subset S_1 \cap S_2. Esto prueba (b) y termina la demostración.

Cuando una topología tiene al menos una base numerable se dice que verifica el segundo axioma de numerabilidad.

Otra noción interesante es la de sub-base. Decimos que una colección no vacía de partes de un conjunto X es una sub-base para una topología sobre dicho conjunto, si las intersecciones finitas de los elementos de la colección forman una base de una topología. La condición para conseguir una sub-base resulta sencilla.

Teorema 2. Una colección no vacía \mathcal{H} de partes de un conjunto X es sub-base de una topología \mathcal{T} si y sólo si la unión de los elementos de la colección es X.

Prueba. Consideremos que \mathcal{H} verifica la condición \cup_{H \in \mathcal{H}} H = X. Sea \mathcal{M} la colección de las intersecciones finitas de los elementos de \mathcal{H}. Probaremos que \mathcal{M} es una base para una topología \mathcal{T} de X. Evidentemente, es \mathcal{H} \subset \mathcal{M}, por lo que si x es un elemento de X, entonces como la unión de los elementos de \mathcal{H} es X, existe un H \in \mathcal{H}, tal que x \in H y así para cada x \in X, existe un H \in \mathcal{M} tal que x \in H (esto prueba la condición (a) del teorema 1). Si x \in M_1 \cap M_2, con M_1, M_2 \in \mathcal{M}, es inmediato que M_1 \cap M_2 pertenece a \mathcal{M}, pues dicha clase tiene por elementos a intersecciones finitas de elementos de \mathcal{H} y tomando M_3 = M_1 \cap M_2 se sigue que M_3 \subset M_1 \cap M_2, (esto prueba la condición (b) del teorema 2). En definitiva \mathcal{M} es una base para una topología sobre X.
Recíprocamente, si consideramos una subbase \mathcal{H}, entonces al ser la colección \mathcal{S} de las intersecciones finitas de dicha subbase una base, se sigue que dicha base verificará la condición (a) del teorema 1. Por ello, para cada x \in X, existe S \in \mathcal{S}, tal que x \in S. Si H_{S} es uno de los elementos de \mathcal{H} que intersecados dan lugar a S, se sigue que x \in S \subset H_{S} y de aquí es evidente que la unión de los elementos de la subbase es igual a todo X.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s