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Curso EVT. Lectura 26. Topología (1)

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Sea un conjunto. Decimos que una colección de partes de es una topología sobre si verifica las propiedades siguientes:

(a) el vacío y pertenecen a .

(b) La unión de elementos de es un elemento de .

(c) La intersección finita de elementos de es un elemento de .

El par se denomina entonces espacio topológico. En general, se dice simplemente que es un espacio topológico omitiendo la mención a siempre que no haya confusión.

Los conjuntos que pertenecen a se llaman abiertos de dicha topología. En resumen, una topología sobre un conjunto es cualquier colección de partes de dicho conjunto que contenga al vacío y al total y que sea cerrada para la unión arbitraria y la intersección finita. En general, sobre un mismo conjunto se pueden definir varias topologías.

También podemos definir de una manera equivalente una topología utilizando un sistema de filtros.

Definición 1. Una familia no vacía de partes de un conjunto es un filtro sobre dicho conjunto si no contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y si para algún es , entonces .

Una base del filtro es cualquier subcolección no vacía de para la que, dado cualquier , existe al menos un con . Las bases de filtro tampoco contienen al vacío (pues son una subcolección no vacía de una colección que no contiene al vacío). Es evidente que todo filtro es base de sí mismo pero también es posible que un filtro tenga más de una base. Interesa pues ver qué propiedades tienen las bases de filtro.

Teorema 1. Una familia no vacía de partes de un conjunto es una base de un filtro, si no contiene al vacío y para cada par de elementos de , es posible hallar un , tal que .

Prueba. Consideremos un filtro y supongamos que es una base de dicho filtro. En tal caso, si son elementos de se sigue que pertenecen al filtro y, en consecuencia, (pues los filtros son cerrados para la intersección finita). Solo resta considerar que al ser una base del filtro, hallaremos en , tal que . Recíprocamente, supongamos que existe una familia no vacía de partes de que verifica las condiciones para ser una base de filtro. Definimos la clase . Es decir, la colección de todos los subconjuntos de que incluyen a alguno de . Afirmamos que es un filtro y que es una de sus bases. En efecto, es no vacía pues todos los elementos de están por definición en . Además no contiene al vacío pues ningún elemento de es vacío. Sean elementos de , hallaremos en , tales que y . Como es una base de filtro, hallaremos , tal que . Lo que prueba que es un elemento de . Finalmente, si es un subconjunto de que contiene a algún , entonces existe , tal que y de aquí . Esto termina la demostración.

Sea ahora un espacio topológico. Decimos que un conjunto es un entorno de un punto si existe al menos un abierto tal que . Según esta definición, los abiertos son entornos de todos sus puntos. Consideremos fijo y definamos la familia . Esto es, la familia de todos los entornos del punto . Afirmamos que dicha familia es un filtro.

Teorema 2. La colección de entornos de un punto de un espacio topológico es un filtro.

Prueba. En primer lugar, si es un entorno de , entonces por lo que ningún entorno es vacío. Sean y , entornos de . Hallaremos abiertos y , tales que y . Por ello, y como es abierto, se sigue que es un entorno de . Finalmente, si es un subconjunto de y existe un entorno de , tal que , es inmediato que hallaremos un abierto con , lo que implica que es un entorno de .

Así en un espacio topológico podemos definir una colección de filtros de entornos . Tal colección resulta ser un sistema pues están relacionados unos filtros con otros como muestra la condición (b) del siguiente teorema.

Teorema 3. Sea un espacio topológico y sea la colección de filtros de entornos determinada a partir de los abiertos de la topología. Afirmamos que
(a) Para todo es .
(b) Si , existe un , de forma que para cada es .

Prueba. La propiedad (a) es inmediata. Veamos (b). Sea un entorno de . Hallaremos un abierto , de forma que . Como es abierto, entonces trivialmente es entorno de (y de todos sus puntos). Escribimos , y podemos concluir que si , entonces de , se sigue que .

El teorema anterior nos da la clave para definir una topología a partir de un sistema de filtros.

Teorema 4. Sea un conjunto no vacío y consideremos un sistema de filtros , definidos sobre dicho conjunto y con las propiedades (a) y (b) del teorema 3. Entonces la colección de los conjuntos definidos mediante: si y sólo si para cada , es , resulta una topología sobre .

Prueba. Sea un elemento de . Por (a), resulta que , para todo . Esto significa que pertenece a (no olvidemos que dicha colección es un filtro) y, en consecuencia, para todo es y . El conjunto vacío también pertenece a pues verifica la condición necesaria por omisión. Sean y dos elementos de y sea . Si dicha intersección es vacía entonces pertenece a y si no lo es, dado , resulta que y también . Supongamos que es una base del filtro (sabemos que todo filtro tiene al menos una base). Entonces, hallaremos , tales que . Pero esto prueba que pues contiene a un elemento de la base del filtro . Así pues, . Finalmente, si es una colección de elementos de , y es un elemento de , hallaremos un para el que . Esto es, . Pero como , se sigue que la unión también pertenece al filtro y de aquí que dicha unión sea un elemento de .

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