Curso EVT. Lectura 26. Topología (1)

Sea X un conjunto. Decimos que una colección \mathcal{T} de partes de X es una topología sobre X si verifica las propiedades siguientes:

(a) el vacío y X pertenecen a \mathcal{T}.

(b) La unión de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

(c) La intersección finita de elementos de \mathcal{T} es un elemento de \mathcal{T}.

El par (X, \mathcal{T}) se denomina entonces espacio topológico. En general, se dice simplemente que X es un espacio topológico omitiendo la mención a \mathcal{T} siempre que no haya confusión.

Los conjuntos que pertenecen a \mathcal{T} se llaman abiertos de dicha topología. En resumen, una topología sobre un conjunto es cualquier colección de partes de dicho conjunto que contenga al vacío y al total y que sea cerrada para la unión arbitraria y la intersección finita. En general, sobre un mismo conjunto se pueden definir varias topologías.

También podemos definir de una manera equivalente una topología utilizando un sistema de filtros.

Definición 1. Una familia no vacía \mathcal{F} de partes de un conjunto X es un filtro sobre dicho conjunto si no contiene al vacío, es cerrada para la intersección finita y si para algún F \in \mathcal{F} es F \subset U \subset X, entonces U \in \mathcal{F}.

Una base del filtro \mathcal{F} es cualquier subcolección no vacía \mathcal{B} de \mathcal{F} para la que, dado cualquier F \in \mathcal{F}, existe al menos un B \in \mathcal{B} con B \subset F. Las bases de filtro tampoco contienen al vacío (pues son una subcolección no vacía de una colección que no contiene al vacío). Es evidente que todo filtro es base de sí mismo pero también es posible que un filtro tenga más de una base. Interesa pues ver qué propiedades tienen las bases de filtro.

Teorema 1. Una familia no vacía \mathcal{B} de partes de un conjunto X es una base de un filtro, si no contiene al vacío y para cada par B,B' de elementos de \mathcal{B}, es posible hallar un B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B'.

Prueba. Consideremos un filtro \mathcal{F} y supongamos que \mathcal{B} es una base de dicho filtro. En tal caso, si B,B' son elementos de \mathcal{B} se sigue que B,B' pertenecen al filtro y, en consecuencia, B \cap B' \in \mathcal{F} (pues los filtros son cerrados para la intersección finita). Solo resta considerar que al ser \mathcal{B} una base del filtro, hallaremos B'' en \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B''. Recíprocamente, supongamos que existe una familia no vacía \mathcal{B} de partes de X que verifica las condiciones para ser una base de filtro. Definimos la clase \mathcal{F} = \{ U \subset X: \exists B \in \mathcal{B}, B \subset U \}. Es decir, la colección de todos los subconjuntos de X que incluyen a alguno de \mathcal{B}. Afirmamos que \mathcal{F} es un filtro y que \mathcal{B} es una de sus bases. En efecto, \mathcal{F} es no vacía pues todos los elementos de \mathcal{B} están por definición en \mathcal{F}. Además no contiene al vacío pues ningún elemento de \mathcal{B} es vacío. Sean U,U' elementos de \mathcal{F}, hallaremos B,B' en \mathcal{F}, tales que B \subset U y B' \subset U'. Como \mathcal{B} es una base de filtro, hallaremos B'' \in \mathcal{B}, tal que B'' \subset B \cap B' \subset U \cap U'. Lo que prueba que U \cap U' es un elemento de \mathcal{F}. Finalmente, si Z es un subconjunto de X que contiene a algún U \in \mathcal{F}, entonces existe B \in \mathcal{B}, tal que B \subset U \subset Z y de aquí Z \in \mathcal{F}. Esto termina la demostración.

Sea ahora (X, \mathcal{T}) un espacio topológico. Decimos que un conjunto U es un entorno de un punto x \in X si existe al menos un abierto A tal que x \in A \subset U. Según esta definición, los abiertos son entornos de todos sus puntos. Consideremos x fijo y definamos la familia \mathcal{F}(x) = \{ U \subset X : \exists A \in \mathcal{T} : x \in A \subset U \}. Esto es, la familia de todos los entornos del punto x. Afirmamos que dicha familia es un filtro.

Teorema 2. La colección de entornos de un punto x de un espacio topológico (X,\mathcal{T}) es un filtro.

Prueba. En primer lugar, si U es un entorno de x, entonces x \in U por lo que ningún entorno es vacío. Sean U y V, entornos de x. Hallaremos abiertos A y B, tales que x \in A \subset U y x \in B \subset V. Por ello, x \in A \cap B \subset U \cap V y como A \cap B es abierto, se sigue que U \cap V es un entorno de x. Finalmente, si W es un subconjunto de X y existe un entorno U de x, tal que U \subset W, es inmediato que hallaremos un abierto A con x \in A \subset U \subset W, lo que implica que W es un entorno de x.

Así en un espacio topológico podemos definir una colección de filtros de entornos (\mathcal{F}(x))_{x \in X}. Tal colección resulta ser un sistema pues están relacionados unos filtros con otros como muestra la condición (b) del siguiente teorema.

Teorema 3. Sea (X, \mathcal{T}) un espacio topológico y sea (\mathcal{F}(x))_{x \in X} la colección de filtros de entornos determinada a partir de los abiertos de la topología. Afirmamos que
(a) Para todo U \in \mathcal{F}(x) es x \in U.
(b) Si U \in \mathcal{F}(x), existe un V \in \mathcal{F}(x), de forma que para cada y \in V es U \in \mathcal{F}(y).

Prueba. La propiedad (a) es inmediata. Veamos (b). Sea U un entorno de x. Hallaremos un abierto A, de forma que x \in A \subset U. Como A es abierto, entonces trivialmente es entorno de x (y de todos sus puntos). Escribimos A = V, y podemos concluir que si y \in V, entonces de V \subset U, se sigue que U \in \mathcal{F}(y).

El teorema anterior nos da la clave para definir una topología a partir de un sistema de filtros.

Teorema 4. Sea X un conjunto no vacío y consideremos un sistema de filtros (\mathcal{F}(x))_{x \in X}, definidos sobre dicho conjunto y con las propiedades (a) y (b) del teorema 3. Entonces la colección \mathcal{S} de los conjuntos A definidos mediante: A \in \mathcal{S} si y sólo si para cada x \in A, es A \in \mathcal{F}(x), resulta una topología sobre X.

Prueba. Sea x un elemento de X. Por (a), resulta que x \in U \subset X, para todo U \in \mathcal{F}(x). Esto significa que X pertenece a \mathcal{F}(x) (no olvidemos que dicha colección es un filtro) y, en consecuencia, para todo x \in X es X \in \mathcal{F}(x) y X \in \mathcal{S}. El conjunto vacío también pertenece a \mathcal{S} pues verifica la condición necesaria por omisión. Sean A y A' dos elementos de \mathcal{S} y sea A \cap A'. Si dicha intersección es vacía entonces pertenece a \mathcal{S} y si no lo es, dado X \in A \cap A', resulta que A \in \mathcal{F}(x) y también A' \in \mathcal{F}(x). Supongamos que \mathcal{B}(x) es una base del filtro \mathcal{F}(x) (sabemos que todo filtro tiene al menos una base). Entonces, hallaremos B,B',B'' \in \mathcal{B}(x), tales que x \in B'' \subset B \cap B' \subset A \cap A'. Pero esto prueba que A \cap A' \in \mathcal{F}(x) pues contiene a un elemento de la base del filtro \mathcal{F}(x). Así pues, A \cap A' \in \mathcal{S}. Finalmente, si (A_i)_{i \in I} es una colección de elementos de \mathcal{S}, y x es un elemento de \cup_{i \in I} A_i, hallaremos un i_0 \in I para el que x \in A_{i_{0}}. Esto es, A_{i_{0}} \in \mathcal{F}(x). Pero como A_{i_{0}} \subset \cup_{i \in I} A_i, se sigue que la unión también pertenece al filtro \mathcal{F}(x) y de aquí que dicha unión sea un elemento de \mathcal{S}.

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