Curso EVT. Lectura 21. Cardinales (4)

Recordemos que un conjunto A es numerable si es vacío, finito o equipotente al conjunto de los enteros positivos. Ahora vamos a dar propiedades de tales conjuntos y nos vamos a basar en la visto en lecturas anteriores.

Teorema 1. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Prueba. Sea A numerable y sea B un subconjunto de A. Sabemos que existe una aplicación inyectiva g:A \rightarrow \mathbb{N} y que la aplicación f:B \rightarrow A, dada por f(x)=x es inyectiva. En consecuencia, la composición g \circ f:B \rightarrow \mathbb{N} es inyectiva y B es numerable.

Teorema 2. El conjunto \mathbb{N} \times \mathbb{N} es numerable.

Prueba. Sea la aplicación

f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

dada por f(m,n) = 2^{m} 3^{n}. Vemos que es inyectiva. En efecto, si f(m,n)= f(a,b), entonces 2^{m} 3^{n} = 2^{a} 3^{b}, de donde 2^{m-a} = 3^{n-b} y esto sólo es posible si m-a=n-b=0. En consecuencia, f es inyectiva y \mathbb{N} \times \mathbb{N} es numerable.

Es fácil comprobar que este teorema implica el corolario siguiente.

Corolario 1. Si A y B son numerables. Entonces A \times B es numerable.

La demostración es sencilla y se deja a cargo del lector.

Teorema 3. La unión numerable de conjuntos numerables también es un conjunto numerable.

Prueba. Consideremos una colección (A_n) numerable de conjuntos numerables. Si alguno de ellos es vacío se suprime y no cambia la unión. Por ello no perdemos generalidad si consideramos el caso en que todos son no vacíos. Para cada n, existe una aplicación inyectiva

f_n : A_n \rightarrow \mathbb{N}.

Utilizando este hecho vamos a construir una aplicación inyectiva entre \cup_{n} A_n y \mathbb{N} \times \mathbb{N}. En efecto, sea a \in \cup_{n} A_n. Esto implica que el conjunto C_a=\{n \in \mathbb{N}: a \in A_n \} es no vacío. Al ser este un subconjunto de los enteros positivos, existe y es único el valor m_a = \min C_a. Definimos f(a) = (m_a, f_{m_{a}}(a)) para cada a de la unión y obtenemos una inyección. Así es ya que si fuera f(a)=f(b), entonces m_a = m_b=k y también f_{m_a}(a) = f_{m_b} (b), luego a,b \in A_k y f_k(a)=f_k(b). Como f_k es inyectiva, es a=b. Esto termina la demostración.

Teorema 4. El conjunto \mathbb{Z} de los enteros es numerable y también lo es el conjunto \mathbb{Q} de los racionales.

Prueba. Sabemos que \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{-n : n \in \mathbb{N}\}. Como cada uno de estos conjuntos es numerable, su unión también lo es y así el conjunto de los enteros es numerable. Sea \mathbb{Q} el conjunto de los racionales. Entonces \mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} : p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}. La aplicación

g : \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\}) \rightarrow \mathbb{Q}.

dada por f(p,q) =\frac{p}{q} es sobreyectiva. Como \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\}) es numerable (al ser un subconjunto de \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}), resulta que \mathbb{Q} es numerable.

Todavía quedan más resultados que expondremos en un par de entradas posteriores.

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Curso EVT. Lectura 20. Cardinales (3)

Teorema 1. Sea A un conjunto. Son equivalentes:
a) Existe B \subset A, tal que B es infinito numerable.
b) El conjunto A es D-infinito.

Prueba. (a) implica (b). Supongamos que B \subset A es infinito numerable. Hallaremos pues una biyección g: \mathbb{N} \rightarrow B. Sea ahora P el conjunto de los números pares. Es claro que la restricción g_P:P \rightarrow B es una biyección de P en g(P). También la aplicación f:\mathbb{N} \rightarrow P, dada por f(n) = 2n es una biyección. Por tanto, g_P \circ f \circ g^{-1} es una aplicación inyectiva y aplica B en B-g(P). Podemos extender esta aplicación a todo A mediante h(x) = (g_P \circ f \circ g^{-1})(x), si x \in B y h(x) si x \in A-B. Es fácil probar que h es inyectiva y aplica A en (A-B) \cup g(P) \subsetneq A. Esto prueba que A es D-infinito.
(b) implica (a). Como A es D-infinito, existen H \subsetneq A y una biyección \phi:A \rightarrow H. Sea a \in A-H, entonces \phi(a) \neq a pues \phi(a) \in H. Del mismo modo \phi^{2}(a) \neq \phi(a), pues si así fuera, entonces \phi(a) =a en contra de lo supuesto. Reiterando este argumento por inducción obtenemos un subconjunto \{a, \phi(a), \phi^{2}(a), \ldots, \phi^{n}(a), \ldots \} que resulta numerable.

Teorema 2. Un conjunto A es infinito si y sólo si contiene un subconjunto infinito numerable.

Prueba. Supongamos que B \subset A y B es infinito numerable. En ese caso, por el teorema anterior resulta que es D-infinito y, por tanto es infinito. Supongamos que A es infinito . Sea 2^{A} el conjunto de las partes de A. El axioma de elección nos garantiza la existencia de una función de elección f:2^{A}-\{\emptyset\} \rightarrow A. Con ella vamos a formar una sucesión a_n mediante a_n = f(A), si n=1, a_n=f(A-\{a_1,\ldots, a_{n-1}\}) si n \geq 2. Esta sucesión está bien formada ya que al ser A infinito, se tiene que A-\{a_1, \ldots, a_{n-1}\} es no vacío para cualquier n \geq 2 y como f es una función de elección resulta que f(X) \in X para cada X no vacío. Así resultará que a_n \neq a_m, si n \neq m. El conjunto B=\{a_n : n \in \mathbb{N} \} es numerable y está incluido en A.

Llegamos por fin al resultado buscado.

Teorema 3. Todo conjunto infinito es D-infinito

Prueba. Sea A infinito. Entonces existe B \subset A, tal que B es numerable (por el teorema 2) y, por tanto por el teorema 1 es D-infinito.

Cuando definimos el concepto de conjunto infinito utilizamos dos aproximaciones aparentemente diferentes. Una de ellas se basaba en la posibilidad de encontrar aplicaciones inyectivas sobre sí mismo que no eran sobreyectivas y otra se basaba en la imposibilidad de encontrar un entero positivo n tal que el conjunto fuera equipotente a \{1,2, \ldots, n\}. Hemos visto que estas dos ideas son equivalentes pero para ello hemos tenido que usar el axioma de elección. A partir de ahora, usaremos una u otra sin distinción y daremos una serie de resultados básicos sobre operaciones y cardinales.

Curso EVT. Lectura 19. Cardinales (2)

Recordemos que un conjunto E es D-infinito si es posible encontrar una aplicación f:E \rightarrow E que es inyectiva y no sobreyectiva. Existe otra forma de definir un conjunto infinito que parte de su idea contraria.

Definición 1. Sea \mathbb{N} el conjunto de los números naturales. Un conjunto E es finito si es vacío o existe un subconjunto S(n) =\{ 1, 2, \ldots, n \}, de \mathbb{N} tal que E es equipotente a S(n). En otro caso diremos que el conjunto es infinito.

Si probamos que S(n) es D-finito, entonces por (d) del teorema 3 de la lectura 18, se sigue que todo conjunto finito es D-finito. Para hacer tal prueba suponemos conocida la buena ordenación de los números naturales.

Teorema 1. Para todo n \in \mathbb{N} el conjunto S(n) = \{1,2, \ldots, n\} es D-finito.

Prueba. Supongamos que C es el subconjunto de los naturales formado por aquellos n para los cuales es posible la existencia de una biyección de S(n) en uno de sus subconjuntos propios. Sea m = \min C (cuya existencia está garantizada por la buena ordenación), entonces existe h: \{1,2, \ldots, m \} \rightarrow B, donde B \subset \{1,2, \ldots, m\}, pero B \neq \{1,2, \ldots, m\}. Si suponemos que m \notin B, se sigue que B \subset \{1,2, \ldots, m-1\} y de aquí h(\{1,2, \ldots, m-1\} \subset B-\{h(m)\}. Por tanto,

h(\{1,2,\ldots, m-1\}) \subset B-\{h(m)\} \subsetneq B \subset \{1,2, \ldots, m-1\}).

cevt19
Esto significa que h aplica el conjunto S(m-1) en uno de sus subconjuntos propios y contradice la minimalidad de m. Así pues, concluimos que m \in B. Esto da lugar a dos posibilidades:
a) Es h(m)=m. Entonces

h(\{1,2,\ldots, m-1\}) \subset B-\{m\} \subsetneq \{1,2, \ldots, m-1\}.

Lo que implica que S(m-1) se aplica mediante la biyección h en un subconjunto propio y volvemos a caer en contradicción.
b) Es h(j)=m para algun j \neq m. Pero esto no nos salva de contradicción pues podemos “reordenar” los elementos mediante la biyección g(i) = i si i \neq j,m, g(i) =j para i=m y g(i)=m para i=j para volver a la situación de (a) mediante la composición h \circ g.
Concluimos pues que no es posible encontrar biyecciones entre S(m) y alguno de sus subconjuntos propios por lo que el conjunto C es vacío y llegamos al resultado deseado.

Para terminar veremos que todo conjunto D-infinito es infinito según esta definición. Para eso necesitamos unos resultados previos.

Definición 2. Un conjunto A se dice numerable si es finito o equipotente a los enteros positivos.
Teorema 2.Son equivalentes:
a) El conjunto A es no vacío y numerable.
b) Existe una aplicación inyectiva f:A \rightarrow \mathbb{N}.
c) Existe una aplicación sobreyectiva \phi:\mathbb{N} \rightarrow A.

Prueba. (a) implica (b). Supongamos que A es no vacío y finito. Entonces existe un entero positivo n y una biyección f:A \rightarrow S(n). Como S(n) \subset \mathbb{N}, la extensión f:A \rightarrow \mathbb{N} es inyectiva. Si A es infinito numerable, existe una biyección f:A \rightarrow \mathbb{N} y dicha aplicación es trivialmente inyectiva.
(b) implica (c). Supongamos que existe una inyección f:A \rightarrow N. Sea x_0\in A, definimos \phi(x):\mathbb{N} \rightarrow A, mediante \phi(i) = x_0, si i \notin f(A) y \phi(i) = f^{-1}(i), si i \in f(A). Es fácil comprobar que \phi es sobreyectiva y que podemos escribir A= \{ \phi(1), \phi(2), \ldots, \phi(n), \ldots \}. Esto es una enumeración de A donde eventualmente existen elementos repetidos.
(c) implica (a). Sea \phi: \mathbb{N} \rightarrow A una aplicación sobreyectiva. Si A es no vacío y finito no hay nada que probar. En caso de ser infinito, escribimos como antes A= \{ \phi(1), \phi(2), \ldots, \phi(n), \ldots \} y eliminamos los elementos repetidos. Esto da lugar a una biyección y termina la demostración.

Nuestro objetivo final es probar que todo conjunto infinito es D-infinito (pues todo conjunto D-infinito es infinito en virtud de la implicación ya demostrada: A finito implica A D-finito) y para ello vamos a precisar de algunos resultados más que dejaremos para la próxima lectura.

Curso EVT. Lectura 18. Cardinales (1)

En esta lectura vamos a introducir algunas nociones sobre la cardinalidad de los conjuntos.

Definición 1. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que son coordinables, equivalentes o equipotentes si existe al menos una biyección (es decir, una aplicación inyectiva y sobreyectiva) entre A y B. Convenimos además en que el único conjunto equipotente al vacío es él mismo. Escribiremos A \approx B o bien |A| = |B| para notar que A y B son coordinables o equipotentes.

Se deduce fácilmente de la definición el siguiente resultado.

Teorema 1. Sean A,B y C conjuntos dados. Se cumplen las propiedades siguientes:
a) Es |A|= |A|.
b) Si es |A| = |B|, entonces |B|= |A|.
c) Si |A| = |B| y |B| = |C|, entonces |A| = |C|.

El teorema pueda dar lugar a la idea de que la relación de equipotencia entre conjuntos es una relación de equivalencia. Sin embargo, para que pudieramos afirmar tal cosa deberíamos tener una clase formada por todos los conjuntos. Esto no es posible pues la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel afirma concretamente que tal clase no es un conjunto. Así pues, nos limitaremos a afirmar que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal o la misma cardinalidad o la misma potencia si son equipotentes.
La siguiente definición nos permite afinar un poco más a la hora de establecer comparaciones.

Definición 2. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A tiene un cardinal igual o menor que B y escribimos |A | \leq |B| si es posible hallar una aplicación inyectiva entre A y B.

La siguiente proposición da una definición equivalente.

Teorema 2. Dados los conjuntos A y B, es |A | \leq |B| si y sólo si podemos hallar un subconjunto de B equipotente a A.

Prueba. Supongamos que |A | \leq |B| entonces existe una aplicación inyectiva f: A \rightarrow B. Sea f(A) el subconjunto de B formado por las imágenes de los elementos de A. La aplicación f:A \rightarrow f(A) es una biyección puesto que es inyectiva y sobreyectiva. Recíprocamente, supongamos que existe una aplicación biyectiva g entre A y un subconjunto Y de B. Es inmediato que se trata de una aplicación inyectiva entre A y B. Esto termina nuestra demostración.

Podemos ir un paso más alla en esta definición.

Definición 3. Sean A y B dos conjuntos. Escribimos |A| < |B| si y sólo si existe una aplicación inyectiva f: A \rightarrow B pero ninguna sobreyectiva.

En este punto nos vamos a plantear la definición de conjuntos finitos e infinitos. Es importante tener claro que hay dos maneras de hacerlo y que ambas resultan equivalentes sólo en virtud del axioma de elección.

Definición 4. Un conjunto E se dice infinito (o infinito según Dedekind o D-infinito) si existe una aplicación inyectiva f:E \rightarrow E que no es sobreyectiva. Un conjunto que no es infinito se dice que es finito. En cuanto al conjunto vacío se considera finito por convenio.

Según la definición anterior. El conjunto \mathbb{N} de los enteros positivos es infinito pues la aplicación

f(n) = n+1

resulta inyectiva pero no suprayectiva. En efecto, si f(n) = f(m) es n+1=m+1 de donde n=m. Sin embargo, si tomamos m=1 no podremos hallar un entero positivo n tal que n+1=1 (el cero no vale pues no lo consideramos miembro de los enteros positivos).
Se puede probar fácilmente que un conjunto A es D-infinito si existe una biyección entre A y uno de sus subconjuntos propios B. En efecto, supongamos que existe una aplicación f:A \rightarrow A que es inyectiva pero no sobreyectiva, entonces tomando B=f(A) es B \subset A con B \neq A, por lo que la restricción f:A \rightarrow B es una biyección entre A y el subconjunto propio B. El recíproco es inmediato. Los siguientes resultados son más útiles.

Teorema 3. Sean E y F dos conjuntos y sea f:E \rightarrow F una aplicación,entonces
(a) Todo superconjunto de un conjunto infinito es infinito.
(b) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
(c) Si f es biyectiva y E es infinito, entonces F es infinito.
(d) Si f es biyectiva y E es finito, entonces F es finito.
(e) Si f es inyectiva y E es infinito, entonces F es infinito.
(f) Si f es inyectiva y F es finito, entonces E es finito.
(g) Si f es sobreyectiva y E es finito, entonces F es finito.
(h) Si f es sobreyectiva y F es infinito, entonces E es infinito.

Prueba. (a) Supongamos que E es infinito y que E \subset F. Si E=F no hay nada que probar y si E \neq F, sabemos que existe una aplicación f:E \rightarrow E que es inyectiva y no sobreyectiva (pues E es infinito). La aplicación g:F \rightarrow F dada por g(x) =f(x), si x \in E y g(x)=x, si x \in F-E es inyectiva (esto es inmediato) pero no es sobreyectiva pues sabemos que al menos existe un y \in E tal que f^{-1}(y)= g^{-1}(x) = \emptyset.
La prueba de (b) es inmediata pues (a) implica que si F es finito y E \subset F, entonces E es finito. Utilizamos el argumento contrapositivo.
(c). Si f:E \rightarrow F es una biyección y g:E \rightarrow E es inyectiva pero no sobreyectiva, tenemos que f \circ g \circ f^{-1}:F \rightarrow F es inyectiva (pues es composición de aplicaciones inyectivas) pero no sobreyectiva (si lo fuera también lo sería f^{-1} \circ(f \circ g \circ f^{-1}) \circ f=g).
(d) Si f:E \rightarrow F es biyectiva también lo es f^{-1} :F \rightarrow E por lo que aplicando (c) se tiene que si E es finito también lo será F (en realidad aplicamos de nuevo el argumento contrapositivo).
(e) Si E es infinito y f:E \rightarrow F es inyectiva, entonces podemos definir una biyección f:E \rightarrow f(E). Por (c) resulta que f(E) \subset F es infinito y por (a) es F infinito.
(f) Es el contrarecíproco de (e) y, en consecuencia, válido.
(g) Esta demostración precisa del axioma de elección. Una de sus consecuencias es que si f:E \rightarrow F es sobreyectiva, entonces existe una aplicación g:F \rightarrow E que es inyectiva. Por tanto, si E es finito entonces F también lo es por (f) y si F fuera infinito entonces E sería infinito por (e).
(h) Es el contrarecíproco de (g) y por tanto es válido.

Curso EVT. Lectura 17. Aplicaciones Lineales (2)

Vamos a continuar con el tema de las aplicaciones lineales. Probaremos que “conservan” los subespacios.

Teorema 1. Sea f una aplicación lineal entre los K-espacios E y F y sean S un subespacio de E y T un subespacio de F. Afirmamos que f(S) es un subespacio de F y f^{-1}(T) es un subespacio de E.

Prueba. Si S es un subespacio de E, entonces es no vacío y su imagen f(S) es un subconjunto no vacío de F. Sean u,v elementos de f(S). Hallaremos x e y de S tales que f(x)=u, f(y) =v. Por tanto, para cualesquiera \lambda, \mu escalares, tenemos que \lambda x + \mu y pertenece a S y f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y) = \lambda u + \mu v pertenece a f(S). Esto prueba que f(S) es un subespacio de F. Análogamente, si T es un subespacio de F, resulta que 0 \in T por lo que de la igualdad f(0) = 0 se sigue que 0 \in f^{-1}(T) y f^{-1}(T) es un subconjunto no vacío de E. Dados x,y \in f^{-1}(T), se sigue que f(x), f(y) \in T por lo que para cualesquiera \lambda, \mu escalares, tenemos que \lambda f(x)+ \mu f(y) = f(\lambda x + \mu y) pertenece a T, luego \lambda x + \mu y \in f^{-1}(T). Esto prueba que f^{-1}(T) es un subespacio de E.

Teorema 2. Una aplicación lineal f:E \rightarrow F es inyectiva si y sólo si su núcleo tiene al cero como único elemento

Prueba. Sabemos que f(0)= 0 para toda aplicación lineal. Por tanto, si f es inyectiva y x \neq 0, concluiremos que f(x) \neq 0 y de aquí Ker (f) = \{0 \}. Recíprocamente, supongamos que el núcleo de f sólo tiene al vector 0 como elemento y sean x,y de E tales que f(x) = f(y). Entonces basta observar que

f(x)-f(y) = f(x)+(-1)f(y) = f(x) +f((-1)y) =f(x)+f(-y) = f(x-y) = 0

para concluir que x = y. Así pues, f es inyectiva y termina nuestra demostración

Teorema 3. Una aplicación lineal f:E \rightarrow F es sobreyectiva si y sólo si Im (f) = F.

Prueba. La prueba es inmediata.

También es fácil probar que si una aplicación f.E \rightarrow F es lineal y biyectiva, entonces también es lineal y biyectiva su inversa f^{-1} :F \rightarrow E. Más interés tiene el siguiente teorema pues nos llevará al resultado más interesante de esta lectura.

Teorema 4. Sean E y F espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y sea B=(x_{i})_{i \in I} una base de E. Podemos definir una aplicación lineal f de E en F de la siguiente manera: para cada i \in I, definimos f(x_{i}) como un elemento cualquiera de F y extendemos esta asignación a cada x de E mediante
f(x)=0, si x=0,
f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}), si x \neq 0.
Donde J una subfamilia finita de elementos de B que da lugar a x mediante su combinación lineal con coeficientes (\lambda_{j})_{j \in J} no nulos.

Prueba. En primer lugar, la aplicación f está bien definida ya que la expresión de cada vector no nulo de E como combinación lineal, con escalares no nulos, de elementos de B es única. Supongamos que los vectores x o y o ambos sean nulos, entonces se comprueba de forma inmediata que para cualesquiera \lambda, \mu escalares, se tiene que f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x)+ \mu f(y). Sean x= \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} e y= \sum_{k \in K} \delta_{k} x_{k}, dos vectores de E expresados como combinación lineal de elementos de la base $ñatex B$ y sean \lambda_{j} \neq 0 y \delta_{k} \neq 0, para todo j \in J y todo k \in K, respectivamente. Entonces para cualesquiera escalares \lambda, \mu podemos escribir

\lambda x+ \mu y = \lambda \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} + \mu \sum_{k \in K} \delta_{k} x_{k} = \sum_{j \in J} (\lambda \lambda_{j}) x_{j}+ \sum_{k \in K} (\mu \delta_{k}) x_{k} = \sum_{r \in R} \theta _{r} x_{r},

donde R = J \cup K y \theta_{r} =\lambda \lambda_{r} si r \in J-K, \theta_{r} = \lambda \lambda_{r} + \mu \delta_{r} si r \in J \cap K y \theta_{r} = \mu \delta_{r} si r \in K-J. Por tanto, tenemos que

f( \lambda x + \mu y) = f \big( \sum_{r \in R} \theta _{r} x_{r} \big) = \sum_{r \in R} \theta _{r} f(x_{r})= \sum_{r \in J-K}(\lambda \lambda_{r}) f(x_{r}) + \sum _{r \in J \cap K} (\lambda \lambda_{r} + \mu_{r} \delta_{r}) f(x_{r})+ \sum_{r \in K-J} (\mu_{r} \delta_{r}) f(x_{r})= \sum_{j \in J} (\lambda \lambda_{j}) f(x_{j}) + \sum_{k \in K} (\mu \delta_{k}) f(x_{k}) = \lambda \big(\sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}) \big) + \mu \big(\sum_{k \in K} \delta_{k} f(x_{k}) \big) = \lambda f(x) + \mu f(y).

Esto prueba que f es lineal.

Ahora llegamos al resultado central.

Teorema 5. Dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Prueba. Supongamos que los K-espacios E y F son isomorfos. Entonces existe una biyección lineal f:E \rightarrow F. Si E = \{0 \}, entonces F = f(E) = f(0) = \{0 \} y, en consecuencia, dim (E) = dim (F) =0. Sea E un espacio vectorial no trivial y sea B una base de Hamel de E. Probaremos que C = f(B) es una base de Hamel de F. En efecto, sea (y_{j})_{j \in J} una familia finita de elementos de C y supongamos que \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j} = 0. Entonces para cada j \in J el vector x_{j} = f^{-1}(y_{j}) es un elemento de B y podemos escribir f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} f(x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j} = 0 . Como f es biyectiva esto significa que \sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j} = 0 y como (x_{j})_{j \in J} es una subfamilia finita de B, esto implica que \lambda_{j} = 0 para todo j \in J. Hemos probado pues que C es linealmente independiente. Por otro lado, si z es un elemento cualquiera de F, tenemos que existe un x de E que verifica f(x) = z. Para dicho x podemos hallar una subfamilia finita (u_{k})_{k \in K} de elementos de B, tal que x = \sum_{k \in K} \mu_{k} u_{k} y esto significa que z=f(x) = \sum_{k \in K} \mu_{k} f(u_{k}). Evidentemente (f(u_{k}))_{k \in K} es una subfamilia finita de C y de aquí que C sea un sistema generador de F. Como C=f(B) es una base y f es una biyección, concluimos que dim (E) = |B| = |f(B)|= |C| = dim (F).
Supongamos ahora que dim(E) = dim(F). Si ambas dimensiones son nulas, basta tomar la aplicación f:E \rightarrow F definida por f(0) = 0 para conseguir una biyección lineal (el lector puede comprobar este extremo fácilmente). Sea dim(E) = dim (F) >0. Si B= (x_{i})_{i \in I} es una base de E y C= (y_{i})_{i \in I} es una base de F tenemos que la asignación f(x_{i}) = y_{i}, para cada i \in I, da lugar a una aplicación lineal de E en F (ver teorema 4) mediante: f(x) =0 si x=0 y f(\sum_{j \in J} \lambda_{j} x_{j}) = \sum_{j \in J} \lambda_{j} y_{j}, si x \neq 0, donde J una subfamilia finita de elementos de B que genera x mediante su combinación lineal con coeficientes (\lambda_{j})_{j \in J} no nulos. Claramente f es inyectiva ya que Ker(f) = \{0 \} y también es sobreyectiva pues Im (f) = F. En consecuencia E y F son isomorfos.

Para acabar, exponemos un resultado conocido del álgebra lineal básica pero que a la luz de lo expuesto es válido para cualquier espacio vectorial ya sea de dimensión finita o infinita.

Teorema 6.Sea f:E \rightarrow F una aplicación lineal. Afirmamos que si G es un subespacio de E suplementario de Ker(f), entonces G es isomorfo a Im(f).

Prueba. Sea Ker(f) el núcleo de f y sea G su suplementario. Vamos a restringir la aplicación f a G. Dicha restricción es inyectiva ya que si u y v son elementos de G y resulta que f(u)=f(v), entonces f(u)-f(v) = 0, de donde f(u-v) = 0 y u-v \in Ker(f) \cap G. Luego u-v= 0 y u=v. Es claro que la imagen de la restricción de f a G está incluida en Im(f) pero por otro lado, si y es un elemento de Im(f), hallaremos un x \in E tal que f(x)=y. Ahora bien, como x =z+u, con z \in Ker(f) y u \in G, concluimos que y=f(x)=f(z+u) = f(z)+f(u) = 0+f(u)=f(u). Esto prueba que Im(f) está incluida en la imagen de la restricción de f a G y así ambas coinciden. La conclusión final es que f:G \rightarrow Im(f) es una biyección por lo que G es isomorfo a Im(f).

Corolario 1.f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Entonces dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = dim(E)

Prueba. Si G es suplementario de Ker (f), el corolario 2 de la lectura 14 permite afirmar que dim(E) = dim((Ker(f))+dim(G) y el teorema 6 nos lleva a la igualdad buscada: dim(E) = dim(Ker(f))+dim(Im(f)).

Curso EVT. Lectura 16. Ampliación

Vamos a dar la demostración de la equicardinalidad de las bases de un espacio vectorial de una forma más compacta. Recordemos el teorema.

Teorema: Si A y B son dos bases de un espacio vectorial E, entonces tienen el mismo número cardinal.

Prueba. Sea E= \{0\}. Entonces por convenio su única base es el conjunto vacío. Por tanto, A=B= \emptyset y, trivialmente |A|=|B|=0 (donde |X| designa el cardinal del conjunto X.
Supongamos ahora que E \neq \{0 \}. Sea A una base finita con n elementos. Si el cardinal de B es diferente al de A podemos convenir por simetría que |B|>n. Así pues, hallaremos en E n+1 vectores linealmente independientes

y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1}

Como y_1 \neq 0, (pues pertenece a un conjunto linealmente independiente) podemos afirmar que es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito F(y_1) de A (recordemos que A es una base de E). Sea z_1 un elemento de F(y_1), entonces afirmamos que el conjunto

A_1 = \{y_1\} \cup (A-\{z_1\})

es una base de E. En efecto, A-\{z_1\} es un subconjunto de A y como A es linealmente independiente también lo será A-\{z_1\}. Además, si y_1 dependiera linealmente de A-\{z_1\}, entonces y_1 se podría expresar de dos formas diferentes como combinación lineal de elementos de A: una en la que interviente z_1 y otra en la que no interviene. Pero esto no es posible pues A es linealmente independiente y todos los elementos no nulos de su envoltura lineal (es decir, todos los vectores de E\{0\}), se expresan de una única forma como combinación lineal de elementos de A con coeficientes no nulos. Así pues, el conjunto A_1 = \{y_1\} \cup (A-\{z_1\}) es linealmente independiente. Es fácil probar que se trata de un sistema generador pues si para obtener x como combinación lineal de elementos de A interviene z_1 basta sustituirlo por su expresión despejada en función de y_1. Supongamos ahora que para un número entero 1 \leq r <n es posible hallar \{z_1, z_2, \ldots, z_r\} \subset A, de forma que

A_r = \{y_1, \ldots, y_r\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r\})

es una base de E. En tal caso, como y_{r+1} \neq 0, hallaremos que dicho vector es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito F(y_{r+1}) de A_{r}. Ahora bien, si en dicho conjunto finito sólo hubiera elementos de \{y_1, \ldots, y_r\} llegaríamos a la conclusión de que el conjunto \{y_1, y_2, \ldots, y_r, \ldots, y_n\} es linealmente dependiente. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que habrá al menos un z_{r+1} \in A-\{z_1, \ldots, z_r\} en F(y_{r+1}). Afirmamos entonces que el conjunto

A_{r+1} = \{y_1, \ldots, y_r, y_{r+1}\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r, z_{r+1}\})

es una base de E. Para probar que es un sistema generador de E bastará usar el mismo argumento que hemos empleado para A_1.
Veamos que es linealmente independiente. En efecto, como \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}) \subset A_r, concluimos que dicho subconjunto es linealmente independiente (pues A_r lo es). Si y_{r+1} dependiera linealmente de \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}), entonces se expresaría de dos formas distintas como combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de A_r: una en la que interviene z_{r+1} y otra en la que no lo hace. Al ser A_r una base esto no es posible. Luego y_{r+1} no pertenece a la envoltura lineal del conjunto \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}) y esto prueba que

A_{r+1} = \{y_{r+1}\} \cup \{y_1, \ldots, y_r\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r, z_{r+1}\})

es linealmente independiente. Procediendo por inducción concluimos que

A_{n} = \{y_1, \ldots, y_n\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_n\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}

es una base e E y esto significa que y_{n+1} depende linealmente de \{y_1, y_2, \ldots, y_n \}. Esto contradice nuestra suposición inicial de que \{y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1}\} es linealmente independiente por lo que |B| \leq |A|. Si fuera |B|<n, repitiendo nuestra argumentación y cambiando A y B llegaríamos a |A| \leq |B|. Por tanto, |A| = |B|.
Sean ahora A y B bases de E con cardinales infinitos. Sea x un elemento de la base A. Como x \neq 0, este elemento es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto F(x) de B. Consideremos el conjunto

M = \cup_{x \in A} F(x).

Por definición M \subset B. Veremos que se da la inclusión recíproca y, en consecuencia, M =B. En efecto, sea z \in B. Es posible hallar, S(z)=\{x_1, x_2, \ldots, x_r\} \subset A tal que z depende linealmente de S(z) (no olvidemos que A también es una base$. Para cada x_i \in S(z), tomamos el conjunto F(x_i) \subset B y formamos

N = \cup_{i=1}^{r} F(x_i).

En particular, N \subset M y z depende linealmente de N y, por tanto de M. Si z \in B-M, entonces z se expresaría de dos formas diferentes como elemento de B. Una como elemento de M y otra como elemento de B-M. En consecuencia, B no sería una base. Para evitar esta contradicción será z \in M y B \subset M.
Para terminar, usando propiedades de la aritmética cardinal y el hecho de que B=M, vemos que si \omega es el cardinal de los enteros positivos:

|B|= |M|= |\cup_{x \in A} F(x)| \leq \sum_{x \in A} |F(x)| \leq \sum_{x \in A} \omega = |A| \omega = |A|.

Un razonamiento similar, cambiando A y B nos lleva a |A| \leq |B| y de aquí |A|=|B|.

Curso EVT. Lectura 15. Aplicaciones Lineales (1)

Definición 1. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una aplicación f:E \rightarrow F se dice lineal, homomorfismo o transformación lineal si para cada x,y de E y cada \lambda de K, verifica:
a) f(x+y) = f(x)+f(y).
b)f(\lambda x) = \lambda f(x).

El conjunto de las aplicaciones lineales entre dos K-espacios E y F se nota por \mathcal{L}(E,F). Es claro que dicho conjunto no es nunca vacío. Pues la aplicación
f(x) = 0, \quad \text{para todo} \quad x \in E.
es lineal. Por otro lado, si f y g son elementos de \mathcal{L}(E,F) podemos definir f+g como la aplicación de E en F dada por

(f+g)(x) = f(x)+g(x), \quad x \in E.

Análogamente, para cada \lambda \in K podemos definir la aplicación \lambda f de E en F mediante

(\lambda f)(x) = \lambda f(x), \quad x \in E.
Teorema 1.El conjunto \mathcal{L}(E,F) con las operaciones suma y producto antes definidas es un espacio vectorial sobre K.

Prueba. En primer lugar, las aplicaciones están bien definidas. Sean f y g elementos de \mathcal{L}(E,F) y \lambda un elemento de K, tanto f+g y \lambda f son elementos de \mathcal{L}(E,F). En efecto, si x,y \in E y \mu \in K, tenemos que

(f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = f(x)+g(x)+f(y)+g(y) = (f+g)(x)+ (f+g)(y),
(f+g)( \mu x) = f(\mu x)+ g(\mu x) = \mu f(x)+ \mu g(x) = \mu (f(x)+ g(x)) = \mu (f+g) (x).

Esto prueba que f+g es lineal (el lector observará que hemos empleado el carácter lineal de las aplicaciones f y g y las propiedades de la suma y producto por escalares en el espacio F). Del mismo modo, tenemos que

((\lambda f)(x+y) = \lambda f(x+y) = \lambda (f(x)+ f(y) ) = \lambda f(x) + \lambda f(y) = (\lambda f) (x) + (\lambda f) (y).
(\lambda f) ( \mu x) = \lambda f(\mu x) = \lambda (\mu f(x)) =(\lambda \mu)f(x)=(\mu \lambda) f(x) = \mu (\lambda f(x)) = \mu (\lambda f)(x).

Esto termina nuestra demostración.

Sabemos que K es un espacio vectorial sobre sí mismo. Toda aplicación lineal f: E \rightarrow K se llamará forma lineal y el espacio vectorial \mathcal{L}(E,K) se denomina espacio dual de E y se suele notar E^{*}. Veremos estos conceptos con mucho más detalle en próximas entradas. A continuación damos las primeras propiedades de las aplicaciones lineales deducidas de su definición.

Teorema 2. Sea f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Se cumplen:
a) f(0) = 0.
b) f(-x)=-f(x), para todo x \in E.
c) f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f(x_{i}), para cualesquiera \lambda_{i} \in K y x_{i} \in E.

Prueba. Sea f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Como 0 = 0 x para cualquier x \in E, tenemos que f(0) = f(0x) = 0 f(x) = 0. En consecuencia (a) queda probado. Sea x \in E. Entonces 0 = f(0) = f(x+(-x)) = f(x)+f(-x). Por tanto, f(-x) = -f(x) y (b) queda probado. La prueba de (c) se hace por inducción sobre n y resulta inmediata.

Definición 2. Sea f:E \rightarrow F una aplicación lineal.
a) Si E=F se dice que f es un endomorfismo.
b) Si f es inyectiva se dice que es un monomorfismo.
c) Si f es sobreyectiva se dice que es un epimorfismo
d) Si Si f es biyectiva se dice que es un isomorfismo.
e) Si E=F y f es biyectiva, entonces se dice que es un automorfismo.
Definición 3. Sea f una aplicación lineal entre los K-espacios E y F. El conjunto \{ x \in E : f(x) = 0 \} se denomina núcleo de f y se nota por Ker (f). El conjunto \{f(x) : x \in E \} se llama imagen de f y se notará por Im (f).
Teorema 3. El núcleo de una aplicación lineal es un subespacio del conjunto inicial y la imagen es un subespacio del conjunto final.

Prueba.La propiedad (a) del teorema 1 muestra que 0 pertenece a Ker (f) y éste resulta no vacío. Sean x e y elementos de Ker (f) y sean \lambda, \mu escalares. Entonces f( \lambda x + \mu y) = f(\lambda x)+ f( \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y) = \lambda 0 + \mu 0 = 0. Esto prueba que \lambda x + \mu y pertenece a Ker (f) y este subconjunto es un subespacio de E. Por otro lado, como 0 es un elemento de E, tenemos que f(0) = 0 es un elemento de Im (f) y este subconjunto de F es no vacío. Si z y t son elementos de Im (f), hallaremos x e y, elementos de E, tales que f(x)=z y f(y) = t. Por tanto, para cualesquiera \lambda,\mu escalares, resulta \lambda x + \mu y un elemento de E, siendo f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)= \lambda z + \mu t, un elemento de Im (f). Esto prueba que Im (f) es un subespacio de F y termina la demostración.

Como el núcleo y la imagen son subespacios podemos considerar sus dimensiones. La dimensión de Ker (f) se denomina nulidad de f y la dimensión de Im (f) se llama rango de f. En una próxima entrada relacionaremos estas dimensiones con la dimensión del espacio inicial de f.