Ejercicio de trigonometría

Si x e y varían de forma que su suma x+y se conserva constante (igual a \alpha), hállese:

1. Entre qué límites varía \sin x+ \sin y.

2. Entre qué límites varía \sin x  \sin y

Solución

1. Recordemos que \sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}. Por tanto, aplicamos que x+y = \alpha y obtenemos

\sin x+ \sin y = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{x-y}{2}

Pero, ¿vale la pena buscar alguna relación para obtener x-y en función de \alpha?. La verdad es que no pues sólo nos piden su variación. Por tanto, recordando que |cos u | \leq 1, tenemos

| \sin x+ \sin y| = 2| \sin \frac{\alpha}{2}| |\cos \frac{x-y}{2}| \leq 2| \sin \frac{\alpha}{2}|

Es decir, que \sin x+ \sin y varía entre -2\sin \frac{\alpha}{2} y 2 \sin \frac{\alpha}{2}.

2. En este caso utilizamos la relación

\cos(x+y) - \cos (x-y) = -2 \sin x \sin y

Es decir, \frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos \alpha) = \sin x \sin y. Por tanto, podemos afirmar que

\frac{1}{2} (-1-\cos \alpha) \leq \sin x \sin y \leq \frac{1}{2} (1-\cos \alpha).
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