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Curso EVT. Lectura 25. Cardinales (8)

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No definiremos de manera precisa lo que entendemos por cardinal pues ello precisaría de la teoría de los ordinales. Consideraremos pues un cardinal como una “clase de equivalencia” formada por conjuntos equinumerosos. La definición de las operaciones entre cardinales las haremos utilizando representantes. De esta manera si es un cardinal, escribiremos para indicar que pertenece al cardinal . Tampoco daremos las demostraciones de todos los teoremas.

Definición 1. Sean y dos cardinales y sean y conjuntos disjuntos tales que y . Se define la suma como el cardinal del conjunto

Esta definición es consistente pues se prueba con facilidad que es independiente de los representantes elegidos. Podemos extender esta definición para la suma de un número arbitrario de cardinales.

Definición 2. Sea una familia de cardinales y sea una familia de conjuntos tales que para cada . Se define su suma como el cardinal del conjunto .

De nuevo resulta una definición consistente pues no depende de los representantes que se elijan, además para cada de es cierta la igualdad , siendo los conjuntos de la familia disjuntos dos a dos.

Teorema 1. Sean y tres cardinales cualesquiera. Se cumplen:
a) .
b) Si , entonces .
c) .
Definición 3. Sean y dos cardinales y sean y conjuntos tales que y . Se define el producto como el cardinal del conjunto .

Como vemos no se exige que los conjuntos sean disjuntos. Ahora bien, si uno de ellos es vacío, el producto cartesiano será vacío.

Definición4. Sea una familia de cardinales y sea una familia de conjuntos tales que . Se define el producto como el cardinal del producto cartesiano .

Si ninguno de los cardinales es cero entonces ninguno de los conjuntos de la familia será vacío y el producto cartesiano no será vacío en virtud del axioma de elección.

Teorema 2. Sean y cardinales cualesquiera. Entonces
a) .
b) .
c) , donde es el cardinal del natural .
d) .
e) .
f) .

Señalemos en especial la propiedad (f) pues la hemos usado en la demostración de la equicardinalidad de las bases de un mismo espacio vectorial.

Definición 5. Se dice que un cardinal es menor o igual que otro cardinal si podemos hallar conjuntos y para los que , y existe una función inyectiva. En tal caso, escribimos .
Teorema 3. Si es una familia de cardinales y es una familia de conjuntos con para cada , entonces .
Teorema 4. Sean y dos familias de números cardinales tales que , para todo , entonces:
a) .
b) .

Es importante señalar que estas propiedades no se cumplen siempre si la desigualdad entre los cardinales es estricta.

Teorema 5. Sea un cardinal infinito y sea el cardinal de los naturales. Entonces si es un cardinal que cumple , concluimos que .

Prueba. Consideremos y tales que y y . Sabemos que todo conjunto infinito contiene un subconjunto numerable. Por tanto, existe tal que . Escribimos y definimos la función , mediante

si .
si .
si .

Esta función es biyectiva y esto prueba que . Es decir, . Aplicando (a) del teorema 4 concluimos de la desigualdad que y en virtud del teorema de Schröder-Bernstein es .

Podemos obtener un conocido resultado a partir de esta demostración.

Corolario 1. Si es el cardinal de los naturales, entonces .

Prueba. Bastará tomar y en el teorema anterior.

Teorema 6. Si es un cardinal infinito, entonces y .
Teorema 7. Si y son cardinales mayores que cero y alguno de ellos es infinito, entonces .
Teorema 8. Si es una familia de conjuntos y para , entonces .
Definición 6. Sean y dos cardinales y sean y dos conjuntos tales que y . Definimos como el cardinal del conjunto formado por todas las aplicaciones .
Teorema 9. Para cualesquiera cardinales , se cumplen:
a) Si y , entonces .
b) Si , entonces .

Acabamos esta colección de resultados con un teorema.

Teorema 10. Si y $\gamma$ son cardinales, entonces
a) .
b) .
c) .
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