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Cosas de Logaritmos

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En mi biblioteca permanecen algunos textos de ejercicios de Álgebra y Análisis de la Editorial Mir que me sirvieron en su momento para profundizar conceptos y sobre todo para adquirir práctica en la resolución de problemas. Entre ellos se halla el titulado “Álgebra y Análisis de Funciones Elementales”. Como consecuencia de una duda sobre logaritmos tuve ocasión de releerlo y me encontré con un ejercicio que me llamó la atención. Es el siguiente:

Hállese , sabiendo que .

Mi primer planteamiento fue utilizar la definición de logaritmo. Esto es, plantear
.
Una vez descompuestos factorialmente los números que intervienen en la ecuación exponencial tendríamos
.
Esto es innecesariamente complicado pues precisa de una resolución gráfica o analítica (el siguiente gráfico está tomado de http://www.wolframalpha.com):

Además no es ese el objetivo del ejercicio. En realidad todo se hace muy sencillo si utilizamos el cambio de base y las propiedades de los logarítmos. Así tenemos que

Como sabemos que , podemos sustituir para obtener

Ahora bien, como , podemos terminar el ejercicio en la forma

.
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