Cosas de Logaritmos

En mi biblioteca permanecen algunos textos de ejercicios de Álgebra y Análisis de la Editorial Mir que me sirvieron en su momento para profundizar conceptos y sobre todo para adquirir práctica en la resolución de problemas. Entre ellos se halla el titulado “Álgebra y Análisis de Funciones Elementales”. Como consecuencia de una duda sobre logaritmos tuve ocasión de releerlo y me encontré con un ejercicio que me llamó la atención. Es el siguiente:

Hállese \displaystyle \log_{24} 72, sabiendo que \log_{6}2 =a.

Mi primer planteamiento fue utilizar la definición de logaritmo. Esto es, plantear
\displaystyle \log_{24} 72 =x \Rightarrow 24^x = 72.
Una vez descompuestos factorialmente los números que intervienen en la ecuación exponencial tendríamos
\displaystyle (2^{3} 3)^{x} = 2^{3} 3^{2} \Rightarrow 2^{3x-3} = 3^{2-x}.
Esto es innecesariamente complicado pues precisa de una resolución gráfica o analítica (el siguiente gráfico está tomado de http://www.wolframalpha.com):

logaritmos

Además no es ese el objetivo del ejercicio. En realidad todo se hace muy sencillo si utilizamos el cambio de base y las propiedades de los logarítmos. Así tenemos que

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{\log_{6} 72}{\log_{6} 24} =\frac{\log_{6} (3^{2} 2^{3})}{\log_{6} (2^{3} 3)}=\frac{2\log_{6} 3 +3 \log_{6} 2}{\log_{6} 3+3 \log_{6} 2}

Como sabemos que \log_{6} 2 =a, podemos sustituir para obtener

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a}.

Ahora bien, como \displaystyle \log_{6} 3 = \log_{6} (\frac{6}{2}) = \log_{6} 6- \log_{6} 2 = 1-a, podemos terminar el ejercicio en la forma

\displaystyle \log_{24} 72 = \frac{2\log_{6} 3 +3 a}{\log_{6} 3+3a} =\frac{2(1-a) +3 a}{1-a+3a} = \frac{2+a}{1+2a}.
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