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Curso EVT. Lectura 24. Cardinales (7)

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Vamos a ver otro interesante resultado que involucra a los números reales

Teorema 1. Se cumple que

Prueba. Para llevar a cabo esta demostración vamos a utilizar el llamado conjunto de Cantor. Sea el intervalo cerrado unidad . Dividimos este intervalo unidad en tres partes

y tomamos las dos partes cerradas extremas para formar la unión:
.
Repetimos el proceso para cada una de estas nuevas partes:
,
.
Construimos entonces

Este proceso sigue indefinidamente y se caracteriza por las propiedades siguientes
(i)Cada está incluido en
(ii) Cada es la unión de intervalos cerrados disjuntos.
Al conjunto intersección le llamamos conjunto de Cantor. Construiremos una función inyectiva de en . Para ello, recordemos que en la construcción del conjunto de Cantor cada uno de los intervalos de se reemplaza por 2 intervalos
.
Esto nos va a servir para asociar a cada sucesión infinita de uno de estos dos intervalos. En efecto, sea una sucesión infinita de ceros y unos, definimos

,
, si ,
, si

Evidentemente, cada es subconjunto de por lo que y obtenemos una sucesión decreciente de intervalos cerrados. La completitud de la recta implica entonces que su intersección es un único punto que llamaremos . La función inyectiva que vamos a construir será pues aquella que a cada sucesión le asocia el único punto . En efecto, está bien definida y si suponemos que dos sucesiones y de son diferentes, entonces hallaremos un valor mínimo tal que para y es pero (o al contrario sin pérdida de generalidad). Entonces y también . Los intervalos y son disjuntos por lo que las imágenes y son diferentes. Esto prueba que la aplicación es inyectiva. Evidentemente, la aplicación también es inyectiva de en y esto prueba que . Como sabemos que se sigue el enunciado del teorema y esto termina nuestra demostración.

Vamos a probar ahora la relación contraria.

Teorema 2. Se cumple que .

Prueba. Sea el intervalo abierto unidad. Consideremos cada número de dicho intervalo en base dos. Esto es, para cada de escribimos
,
donde es 0 o 1. La aplicación que a cada le hace corresponder la sucesión es inyectiva ya que si dos sucesiones de ceros y unos son iguales entonces han de representar al mismo número real . Por tanto, . Ahora bien, sabemos que el intervalo abierto unidad es equipotente a la recta real y de aquí que

Los teoremas 1 y 2 nos muestran dos desigualdades entre cardinales de la forma y . Podemos preguntarnos si, como en el orden usual, estas dos desigualdades implican que . La respuesta es afirmativa y viene dada por el teorema llamado de Cantor-Schröder-Bernstein. Para demostrarlo utilizaremos un lema auxiliar

Lema 1.Sean , y conjuntos tales que . Si , entonces

Prueba. Como y son equipotentes existe una biyección entre ellos . Construimos a partir de esta biyección un par de sucesiones de conjuntos mediante

, si ,
, si .
, si .
, si .

Obsérvese que de la inclusión se sigue fácilmente por inducción que . Esto es, para todo . Definimos para cada . Como es inyectiva tenemos que . Sea entonces
,
.
Esto significa que
.
.
Entonces (unión disjunta) y definimos una aplicación mediante

, si ,
, si ,

Esta aplicación es una biyección entre y , luego

Lema 2.Sean y dos conjuntos y sea una aplicación inyectiva. Si entonces .

Prueba. Si es una aplicación inyectiva, entonces la aplicación es una biyección. Si suponemos que , entonces existe una biyección por lo que la composición es una biyección entre y y esto termina la demostración.

Teorema 3 (Cantor-Schröder-Bernstein).Sean y dos conjuntos tales que y . Entonces .

Prueba. Existen aplicaciones inyectivas y . Por tanto, la composición es una biyección (ya que el ser una inyección de un conjunto en sí mismo resulta también sobreyectiva). Claramente
.
Obviamente , por lo que aplicando el lema 1 concluimos que . Finalmente, aplicando el lema 2 concluimos que .

Estos resultados nos llevan a afirmar que .

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