Curso EVT. Lectura 24. Cardinales (7)

Vamos a ver otro interesante resultado que involucra a los números reales

Teorema 1. Se cumple que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| \leq |\mathbb{R}|

Prueba. Para llevar a cabo esta demostración vamos a utilizar el llamado conjunto de Cantor. Sea el intervalo cerrado unidad C_{1} =[0,1]. Dividimos este intervalo unidad en tres partes
\displaystyle  I_{1} =\bigg[0, \frac{1}{3}\bigg], I_{2} =\bigg]\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \bigg[, I_{3} =\bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg]
y tomamos las dos partes cerradas extremas para formar la unión:
\displaystyle C_{2} = \bigg[0, \frac{1}{3}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{3}, 1 \bigg].
Repetimos el proceso para cada una de estas nuevas partes:
\displaystyle \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg],\bigg]\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\bigg[,\bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg],
\displaystyle \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg],\bigg]\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\bigg[,\bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg].
Construimos entonces
\displaystyle C_{3} = \bigg[0, \frac{1}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\bigg] \cup \bigg[\frac{8}{9}, 1\bigg]

conjuntocantor

Este proceso sigue indefinidamente y se caracteriza por las propiedades siguientes
(i)Cada C_{m+1} está incluido en C_{m}
(ii) Cada C_{m} es la unión de 2^{m-1} intervalos cerrados disjuntos.
Al conjunto intersección C = \cap_{i=1}^{\infty} C_{i} le llamamos conjunto de Cantor. Construiremos una función inyectiva de \Delta en C. Para ello, recordemos que en la construcción del conjunto de Cantor cada uno de los 2^{m-1} intervalos [a,b] de C_{m} se reemplaza por 2 intervalos
\displaystyle L[a,b] =\bigg[a, a+\frac{1}{3}(b-a) \bigg], R[a,b] = \bigg[ a+\frac{2}{3}(b-a),b \bigg].
Esto nos va a servir para asociar a cada sucesión infinita de \Delta uno de estos dos intervalos. En efecto, sea \delta(n) una sucesión infinita de ceros y unos, definimos

\displaystyle F_{1}^{\delta}= C_{1},
\displaystyle F_{n+1}^{\delta} = LF_{n}^{\delta}, si \delta(n)=0,
\displaystyle F_{n+1}^{\delta}=RF_{n}^{\delta}, si \delta(n) = 1

Evidentemente, cada F_{n}^{\delta} es subconjunto de C_{n} por lo que F_{n+1}^{\delta} \subset F_{n}^{\delta} y obtenemos una sucesión decreciente de intervalos cerrados. La completitud de la recta implica entonces que su intersección es un único punto que llamaremos f(\delta). La función inyectiva que vamos a construir será pues aquella que a cada sucesión \delta le asocia el único punto f(\delta). En efecto, está bien definida y si suponemos que dos sucesiones \delta y \epsilon de \Delta son diferentes, entonces hallaremos un valor mínimo n \in \mathbb{N} tal que \delta(i) = \epsilon(i) para i \leq n y es \delta(n) = 0 pero \epsilon(n) =1 (o al contrario sin pérdida de generalidad). Entonces f(\delta) \in F_{n+1}^{\delta}=LF_{n}^{\delta} y también f(\epsilon) \in F_{n+1}^{\epsilon}=RF_{n}^{\delta}. Los intervalos LF_{n}^{\delta} y RF_{n}^{\delta} son disjuntos por lo que las imágenes f(\delta) y f(\epsilon) son diferentes. Esto prueba que la aplicación es inyectiva. Evidentemente, la aplicación f también es inyectiva de \Delta en \mathbb{R} y esto prueba que |\Delta| \leq |\mathbb{R}|. Como sabemos que |\Delta|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})| se sigue el enunciado del teorema y esto termina nuestra demostración.

Vamos a probar ahora la relación contraria.

Teorema 2. Se cumple que |\mathbb{R}| \leq |\mathcal{P}(\mathbb{N})| .

Prueba. Sea I=]0,1[ el intervalo abierto unidad. Consideremos cada número de dicho intervalo en base dos. Esto es, para cada x de I escribimos
\displaystyle x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{ 2^{n}},
donde a_{i} es 0 o 1. La aplicación f que a cada x le hace corresponder la sucesión (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots) es inyectiva ya que si dos sucesiones de ceros y unos son iguales entonces han de representar al mismo número real x. Por tanto, |]0,1[| \leq | \Delta |. Ahora bien, sabemos que el intervalo abierto unidad es equipotente a la recta real y de aquí que |\mathbb{R}| \leq | \Delta |= |\mathcal{P}(\mathbb{N})|

Los teoremas 1 y 2 nos muestran dos desigualdades entre cardinales de la forma a \leq b y b \leq a. Podemos preguntarnos si, como en el orden usual, estas dos desigualdades implican que a=b. La respuesta es afirmativa y viene dada por el teorema llamado de Cantor-Schröder-Bernstein. Para demostrarlo utilizaremos un lema auxiliar

Lema 1.Sean A_{1}, B y A conjuntos tales que A_{1} \subset B \subset A. Si |A_{1}| = |A|, entonces |A| = |B|

Prueba. Como A y A_{1} son equipotentes existe una biyección entre ellos f:A \rightarrow A_{1}. Construimos a partir de esta biyección un par de sucesiones de conjuntos mediante

\displaystyle A_{n} =A, si n=0,
\displaystyle A_{n} = f^{n}(A) , si n \geq 1.
\displaystyle  B_{n} = B, si n =0.
\displaystyle  B_{n} = f^{n}(B), si n \geq 1.

Obsérvese que de la inclusión A_{1} \subset B=B_{0} \subset A_{0} = A se sigue fácilmente por inducción que f^{n}(A_{1}) \subset f^{n} (B_{0}) \subset f^{n} (A_{0}). Esto es, A_{n+1} \subset B_{n} \subset A_{n} para todo n. Definimos C_{n} = A_{n}- B_{n} para cada n. Como f es inyectiva tenemos que f(C_{n}) = f(A_{n})- f(B_{n}) = A_{n+1} -B_{n+1} = C_{n+1}. Sea entonces
\displaystyle C = \bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n},
\displaystyle D = A-C.
Esto significa que
\displaystyle f(C) = f(\cup_{n=0}^{\infty} C_{n})= \cup_{n=0}^{\infty}f(C_{n}) = \cup_{n=0}^{\infty}C_{n+1} = \cup_{n=1}^{\infty}C_{n}.
\displaystyle D = A-C = A -\bigcup_{n=0}^{\infty} C_{n} = \bigcap_{n=0}^{\infty} (A-C_{n}).
Entonces f(C) \cup D = B (unión disjunta) y definimos una aplicación g:A \rightarrow B mediante

\displaystyle g (x) =f(x), si x \in C,
\displaystyle g (x) =x, si x \in D,

Esta aplicación es una biyección entre A y B, luego |A| = |B|

Lema 2.Sean A y B dos conjuntos y sea f: A \rightarrow B una aplicación inyectiva. Si |f(A)| = |B| entonces |A| = |B|.

Prueba. Si f: A \rightarrow B es una aplicación inyectiva, entonces la aplicación f: A \rightarrow f(A) es una biyección. Si suponemos que |f(A)| = |B|, entonces existe una biyección h: f(A) \rightarrow B por lo que la composición h \circ f es una biyección entre A y B y esto termina la demostración.

Teorema 3 (Cantor-Schröder-Bernstein).Sean A y B dos conjuntos tales que |A| \leq B y |B| \leq |A|. Entonces |A| = |B|.

Prueba. Existen aplicaciones inyectivas f: A \rightarrow B y g:B \rightarrow A. Por tanto, la composición g \circ f:A \rightarrow A es una biyección (ya que el ser una inyección de un conjunto en sí mismo resulta también sobreyectiva). Claramente
\displaystyle g \circ f (A) \subset g(B) \subset A..
Obviamente |g \circ f(A)| = |A |, por lo que aplicando el lema 1 concluimos que |A | = |g(B) |. Finalmente, aplicando el lema 2 concluimos que |A|=|B|.

Estos resultados nos llevan a afirmar que |\mathcal{P}(\mathbb{N})| =|\mathbb{R}|.

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