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Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

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Vamos a ver que cualquier intervalo acotado no vacío y que no se limite a un solo punto (degenerado) es equipotente a toda la recta real.

Teorema 1. Todo intervalo , no vacío ni degenerado, es equipotente a

Prueba. Consideremos los intervalos unidad , e . Vamos a establecer una biyección entre dichos intervalos y el intervalo . Comenzamos con el intervalo cerrado . Sea el conjunto de los racionales del intervalo cerrado unidad y sea el conjunto de los racionales del intervalo abierto unidad. Como y son subconjuntos infinitos de un conjunto numerable serán también infinito numerables por lo que existe una biyección entre y . Vamos a definir entonces la aplicación entre y mediante

, si
, si .

Esta aplicación es una biyección entre y . Para el resto de intervalos sólo hay que modificar ligeramente la argumentación para obtener las correspondientes biyecciones y . Sean ahora y dos números reales con . Podemos definir cualquier intervalo no vacío, acotado y no degenerado como alguno de los , , y . La aplicación es una biyección de cada uno de ellos en los intervalos , , y , respectivamente. Las composiciones , para resultan pues biyecciones de cada uno de los intervalos , , en el intervalo abierto unidad . Como dicho intervalo es equipotente a la recta real, cada uno de estos intervalos resulta también equipotente a la recta real. Finalmente, el intervalo abierto se pone en biyección con el intervalo abierto unidad mediante y por ello también es equipotente a . Esto termina nuestra demostración.

Sea un conjunto y sea un subconjunto de .

Definición 1. La función característica o indicadora de es la función , dada por si y si .

Veamos algunas interesantes propiedades de esta función.

Teorema 2. Sean y subconjuntos de . Se cumplen
a) y .
b), si y sólo si .
c) si y sólo si .
d).
e).
e)

Prueba. Trivialmente, para todo será por lo que la función característica de la totalidad del conjunto será la función constante e igual a la unidad. Análogamente, como ningún pertenece al conjunto vacío, la función característica del conjunto vacío será la función constante e igual a cero. Esto prueba el apartado (a). Sean ahora y dos conjuntos y supongamos que . En tal caso, para cada tenemos por lo que . Si fuera pero , tendríamos que y, para acabar, si fuera , entonces también por lo que . En todos los casos es , lo que permite escribir la desigualdad . El recíproco es análogo. Por tanto, hemos probado (b). Para probar (c), bastará darse cuenta que si y sólo si y y aplicar (b). El resto de demostraciones las dejamos a cargo del lector por su simplicidad.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. Designamos por el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes).

Teorema 3. El conjunto de todas las funciones características de es equipotente al conjunto de sus partes .

Prueba. Sea la función , definida por para cada . Veremos que es una biyección. En efecto, si fuera , entonces por (c) del teorema 2. Esto prueba que es inyectiva. Sea ahora un elemento cualquiera de . El conjunto nos sirve para comprobar que y concluimos que es sobreyectiva.

Con este resultado y apoyándonos en el teorema 1 de la lectura 22 estamos en condiciones de probar un interesante resultado.

Teorema 4. El conjunto de las partes de es no numerable.

Prueba. Evidentemente, el conjunto de las funciones características de coincide con . Por tanto, aplicando el teorema 3 es equipotente a y aplicando el teorema 1 de la lectura 22 resultará que al ser no numerable también lo es . Aquí termina la demostración.

Existe un resultado más general debido a Cantor que relaciona un conjunto con el conjunto de sus partes.

Teorema 5. Sea un conjunto. Entonces

Prueba. En primer lugar, la aplicación , dada por es inyectiva. Por tanto, . Veamos que no existe ninguna aplicación sobreyectiva entre y el conjunto de sus partes utilizando la reducción al absurdo. Sea tal aplicación sobreyectiva y consideremos el conjunto . Para dicho conjunto podríamos hallar al menos un tal que . Por tanto, si concluiremos que y si concluiremos que . En cualquier caso hay contradicción. Así pues, no existe tal aplicación sobreyectiva y el teorema queda demostrado.

Esto permite construir una serie de infinitos cada vez mayores partiendo de un conjunto infinito cualquiera. Por ejemplo, partimos de los naturales y el conjunto de sus partes es “mayor” que los naturales. El conjunto de las partes de las partes será mayor y así sucesivamente. En la siguiente lectura veremos que el conjunto de los números reales es equipotente al de las partes de los naturales y como herramienta de esta prueba definiremos el llamado “Conjunto de Cantor”.

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