Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

Vamos a ver que cualquier intervalo acotado no vacío y que no se limite a un solo punto (degenerado) es equipotente a toda la recta real.

Teorema 1. Todo intervalo I \subset \mathbb{R}, no vacío ni degenerado, es equipotente a \mathbb{R}

Prueba. Consideremos los intervalos unidad I_{1}=[0,1], I_{2}=[0,1[ e I_{3} =]0,1]. Vamos a establecer una biyección entre dichos intervalos y el intervalo ]0,1[. Comenzamos con el intervalo cerrado I_{1}. Sea A = \mathbb{Q} \cap I_{1} el conjunto de los racionales del intervalo cerrado unidad y sea B=\mathbb{Q} \cap ]0,1[ el conjunto de los racionales del intervalo abierto unidad. Como A y B son subconjuntos infinitos de un conjunto numerable serán también infinito numerables por lo que existe una biyección g_{1} entre A y B. Vamos a definir entonces la aplicación f_{1} entre [0,1] y ]0,1[ mediante

f_{1}(x) = x, si x \in [0,1]-A
f_{1}(x) = g_{1}(x), si x \in A.

Esta aplicación es una biyección entre [0,1] y ]0,1[. Para el resto de intervalos sólo hay que modificar ligeramente la argumentación para obtener las correspondientes biyecciones f_{2} y f_{3}. Sean ahora a y b dos números reales con a<b. Podemos definir cualquier intervalo no vacío, acotado y no degenerado como alguno de los [a,b], [a,b[, ]a,b] y ]a,b[. La aplicación h(x) = \frac{1}{b-a} (x-a) es una biyección de cada uno de ellos en los intervalos [0,1], [0,1[, ]0,1] y ]0,1[, respectivamente. Las composiciones f_{i} \circ h, para i=1,2,3 resultan pues biyecciones de cada uno de los intervalos [a,b], [a,b[, ]a,b] en el intervalo abierto unidad ]0,1[. Como dicho intervalo es equipotente a la recta real, cada uno de estos intervalos resulta también equipotente a la recta real. Finalmente, el intervalo abierto ]a,b[ se pone en biyección con el intervalo abierto unidad mediante h y por ello también es equipotente a \mathbb{R}. Esto termina nuestra demostración.

Sea X un conjunto y sea A un subconjunto de X.

Definición 1. La función característica o indicadora de A es la función \lambda_{A} : X \rightarrow \{0, 1\}, dada por \lambda_{A} (x) = 1 si x \in A y \lambda_{A}(x) = 0 si x \notin A.

Veamos algunas interesantes propiedades de esta función.

Teorema 2. Sean A y B subconjuntos de X. Se cumplen
a) \lambda_{X} =1 y \lambda_{\emptyset} = 0.
b)A \subset B, si y sólo si \lambda_{A} \leq \lambda_{B}.
c)\lambda_{A} = \lambda_{B} si y sólo si A=B.
d)\lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} \lambda_{B}.
e)\lambda _{A \cup B} + \lambda_{A \cap B} = \lambda_{A} + \lambda_{B}.
e)\lambda_{\overline{A}} = 1 - \lambda_{A}

Prueba. Trivialmente, para todo x \in X será \lambda_{X} (x) = 1 por lo que la función característica de la totalidad del conjunto será la función constante e igual a la unidad. Análogamente, como ningún x \in X pertenece al conjunto vacío, la función característica del conjunto vacío será la función constante e igual a cero. Esto prueba el apartado (a). Sean ahora A y B dos conjuntos y supongamos que A \subset B. En tal caso, para cada x \in A tenemos x \in B por lo que \lambda_{A} (x) =1 \leq 1 =\lambda_{B} (x). Si fuera x \in B pero x \notin A, tendríamos que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 1 = \lambda_{B} (x) y, para acabar, si fuera x \notin B, entonces también x \notin A por lo que \lambda_{A} (x) = 0 \leq 0 = \lambda_{B} (x). En todos los casos es \lambda_{A} (x)  \leq  \lambda_{B} (x), lo que permite escribir la desigualdad \lambda_{A} \leq \lambda_{B}. El recíproco es análogo. Por tanto, hemos probado (b). Para probar (c), bastará darse cuenta que A = B si y sólo si A \subset   B y B \subset A y aplicar (b). El resto de demostraciones las dejamos a cargo del lector por su simplicidad.

Sea $X$ un conjunto cualquiera. Designamos por \mathcal{P}(X) el conjunto de todos sus subconjuntos (o partes).

Teorema 3. El conjunto \{0,1\}^{X} de todas las funciones características de X es equipotente al conjunto de sus partes \mathcal{P}(X).

Prueba. Sea la función f: \mathcal{P} (X) \rightarrow \{0,1\}^{X}, definida por f(A) = \lambda_{A} para cada A \in \mathcal{P}(X). Veremos que es una biyección. En efecto, si fuera \lambda_{A} = \lambda_{B}, entonces A = B por (c) del teorema 2. Esto prueba que f es inyectiva. Sea ahora h un elemento cualquiera de \{0,1\}^{X}. El conjunto A = \{ x \in X : h(x) =1 \} nos sirve para comprobar que \lambda_{A} = h y concluimos que f es sobreyectiva.

Con este resultado y apoyándonos en el teorema 1 de la lectura 22 estamos en condiciones de probar un interesante resultado.

Teorema 4. El conjunto de las partes de \mathbb{N} es no numerable.

Prueba. Evidentemente, el conjunto \{0,1 \}^{\mathbb{N}} de las funciones características de \mathbb{N} coincide con \Delta. Por tanto, aplicando el teorema 3 es \mathcal{P}(\mathbb{N}) equipotente a \Delta y aplicando el teorema 1 de la lectura 22 resultará que al ser \Delta no numerable también lo es \mathcal{P}(\mathbb{N}). Aquí termina la demostración.

Existe un resultado más general debido a Cantor que relaciona un conjunto con el conjunto de sus partes.

Teorema 5. Sea A un conjunto. Entonces |A |< |\mathcal{P}(A)|

Prueba. En primer lugar, la aplicación f: A \rightarrow \mathcal{P}(A), dada por f(x) = \{x \} es inyectiva. Por tanto, |A| \leq |\mathcal{P}(A)|. Veamos que no existe ninguna aplicación sobreyectiva entre A y el conjunto de sus partes utilizando la reducción al absurdo. Sea \phi : A \rightarrow \mathcal{P}(A) tal aplicación sobreyectiva y consideremos el conjunto B = \{x \in A : x \notin \phi(x) \}. Para dicho conjunto B podríamos hallar al menos un b \in X tal que \phi(b) = B. Por tanto, si b \in B concluiremos que b \notin \phi(b) = B y si b \notin B concluiremos que b \in \phi(b) =B. En cualquier caso hay contradicción. Así pues, no existe tal aplicación sobreyectiva y el teorema queda demostrado.

Esto permite construir una serie de infinitos cada vez mayores partiendo de un conjunto infinito cualquiera. Por ejemplo, partimos de los naturales y el conjunto de sus partes es “mayor” que los naturales. El conjunto de las partes de las partes será mayor y así sucesivamente. En la siguiente lectura veremos que el conjunto de los números reales es equipotente al de las partes de los naturales y como herramienta de esta prueba definiremos el llamado “Conjunto de Cantor”.

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4 pensamientos en “Curso EVT. Lectura 23. Cardinales (6)

  1. andres ayala

    tengo una duda, los intervalos {0,1} y (0,1) son subconjuntos de que conjunto? porque si es de algun intervalo o los reales, ninguno es numerable

    Responder
    1. Mathematicae Autor de la entrada

      En primer lugar, la notación que has empleado no es correcta. Creo que quieres decir: “los intervalos [0,1] y (0,1)”. Si es así, ambos son subconjuntos de los números reales y, efectivamente, ninguno es numerable. De hecho ningún intervalo no vacío ni trivial es numerable.

      Responder

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