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Curso EVT. Lectura 22. Cardinales (5)

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Probaremos ahora la existencia de conjuntos infinitos no numerables.

Teorema 1. El conjunto de las sucesiones binarias
es infinito y no es numerable.

Prueba. En primer lugar, el conjunto es infinito pues no podemos hallar ninguna aplicación inyectiva . En efecto, si tomamos sucesiones de ceros y unos diferentes, siempre podremos hallar una sucesión de ceros y unos diferente a las anteriores sin más que invertir (o sea cambiar cero por uno o uno por cero) el primer término de la primera, el segundo de la segunda y así sucesivamente. Esto dará lugar a una nueva sucesión diferente a las anteriores y, en consecuencia, la aplicación no podrá ser inyectiva. Supongamos que es numerable, probaremos que entonces obtenemos una contradicción siguiendo el mismo razonamiento que en el caso anterior. Escribamos pues, como una enumeración.

.

Utilizando la enumeración escribimos una matriz de ceros y unos en la forma

Obtenemos una nueva sucesión que no está en la lista sin más que intercambiar los ceros y los unos en la diagonal: . De esta manera hallamos una contradicción a nuestra hipótesis de la enumeración y el conjunto resulta no numerable.

El conjunto de los números reales también resulta ser no numerable. La prueba se basa también en el mismo razonamiento “diagonal” que hemos usado en el teorema 1. Pero antes debemos repasar la expresión decimal de los reales en el intervalo unidad. Recordemos que los reales se expresan en forma decimal mediante

donde y eventualmente si existe tal que para todo , obtenemos una expresión finita sin más que prescindir de los decimales (este es el caso de los decimales exactos). Ahora bien, sabemos que en este caso también existe una expresión infinita en la que para . Por ejemplo,

.

Para evitar esta doble expresión admitiremos sólo expresiones infinitas.

Teorema 2. El conjunto es no numerable.

Prueba. Probaremos que el intervalo abierto unidad no es numerable y como la aplicación es una biyección entre y la recta real concluiremos que la recta real tampoco es numerable. Supongamos que es numerable y escribamos los elementos de dicho intervalo en forma de decimales con infinitas cifras y donde el número de ceros es finito. Por ejemplo, en lugar de escribiremos . Esta notación nos proporcionaría una enumeración completa y unívoca:

Podemos construir un número real del intervalo que no está en la lista, tomando para cada el valor . Llegamos a una contradicción y por tanto, no es numerable.

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