Curso EVT. Lectura 22. Cardinales (5)

Probaremos ahora la existencia de conjuntos infinitos no numerables.

Teorema 1. El conjunto de las sucesiones binarias \Delta = \{(a_{1}, a_{2}, \ldots ), \forall i, a_{i} = 0 \vee  a_{i} =1 \}
es infinito y no es numerable.

Prueba. En primer lugar, el conjunto \Delta es infinito pues no podemos hallar ninguna aplicación inyectiva f: \Delta \rightarrow S(n). En efecto, si tomamos n sucesiones de ceros y unos diferentes, siempre podremos hallar una sucesión de ceros y unos diferente a las n anteriores sin más que invertir (o sea cambiar cero por uno o uno por cero) el primer término de la primera, el segundo de la segunda y así sucesivamente. Esto dará lugar a una nueva sucesión diferente a las anteriores y, en consecuencia, la aplicación f no podrá ser inyectiva. Supongamos que es numerable, probaremos que entonces obtenemos una contradicción siguiendo el mismo razonamiento que en el caso anterior. Escribamos pues, \Delta como una enumeración.

\Delta = \{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots \}.

Utilizando la enumeración escribimos una matriz de ceros y unos en la forma

a_{1} : x_{11} \quad  x_{12} \quad x_{13} \quad \cdots
a_{2} : x_{21}\quad x_{22} \quad x_{23} \quad \cdots
a_{3} : x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad \cdots
\vdots \quad \quad \quad \cdots

Obtenemos una nueva sucesión que no está en la lista sin más que intercambiar los ceros y los unos en la diagonal: b_{n} = 1 - x_{nn}. De esta manera hallamos una contradicción a nuestra hipótesis de la enumeración y el conjunto \Delta resulta no numerable.

El conjunto de los números reales también resulta ser no numerable. La prueba se basa también en el mismo razonamiento “diagonal” que hemos usado en el teorema 1. Pero antes debemos repasar la expresión decimal de los reales en el intervalo unidad. Recordemos que los reales 0 <x<1 se expresan en forma decimal mediante

0.x_1 x_2 x_3 \ldots x_n \ldots

donde x_i \in \{0,1,2, \ldots, 9\} y eventualmente si existe j tal que x_j=0 para todo k \geq j, obtenemos una expresión finita sin más que prescindir de los decimales x_j, j \geq k (este es el caso de los decimales exactos). Ahora bien, sabemos que en este caso también existe una expresión infinita en la que x_{j}=9 para j \geq k. Por ejemplo,

0.124 = 0.123999999 \ldots.

Para evitar esta doble expresión admitiremos sólo expresiones infinitas.

Teorema 2. El conjunto \mathbb{R} es no numerable.

Prueba. Probaremos que el intervalo abierto unidad (0,1) no es numerable y como la aplicación f(x) = -\cot(\pi x) es una biyección entre (0,1) y la recta real concluiremos que la recta real tampoco es numerable. Supongamos que (0,1) es numerable y escribamos los elementos de dicho intervalo en forma de decimales con infinitas cifras y donde el número de ceros es finito. Por ejemplo, en lugar de 0,3 escribiremos 0,29999  \ldots. Esta notación nos proporcionaría una enumeración completa y unívoca:

a_{1} :0. x_{11} \quad  x_{12} \quad x_{13} \quad \cdots
a_{2} :0. x_{21}\quad x_{22} \quad x_{23} \quad \cdots
a_{3} :0. x_{31} \quad x_{32} \quad x_{33} \quad \cdots
\vdots \quad \quad \quad \cdots

Podemos construir un número real y =0,b_{1} b_{2} b_{3} \ldots del intervalo (0,1) que no está en la lista, tomando para cada i \in \mathbb{N} el valor b_{i} \neq 0, c_{ii}. Llegamos a una contradicción y por tanto, (0,1) no es numerable.

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