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Curso EVT. Lectura 21. Cardinales (4)

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Recordemos que un conjunto es numerable si es vacío, finito o equipotente al conjunto de los enteros positivos. Ahora vamos a dar propiedades de tales conjuntos y nos vamos a basar en la visto en lecturas anteriores.

Teorema 1. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Prueba. Sea numerable y sea un subconjunto de . Sabemos que existe una aplicación inyectiva y que la aplicación , dada por es inyectiva. En consecuencia, la composición es inyectiva y es numerable.

Teorema 2. El conjunto es numerable.

Prueba. Sea la aplicación

dada por . Vemos que es inyectiva. En efecto, si , entonces , de donde y esto sólo es posible si . En consecuencia, es inyectiva y es numerable.

Es fácil comprobar que este teorema implica el corolario siguiente.

Corolario 1. Si y son numerables. Entonces es numerable.

La demostración es sencilla y se deja a cargo del lector.

Teorema 3. La unión numerable de conjuntos numerables también es un conjunto numerable.

Prueba. Consideremos una colección numerable de conjuntos numerables. Si alguno de ellos es vacío se suprime y no cambia la unión. Por ello no perdemos generalidad si consideramos el caso en que todos son no vacíos. Para cada , existe una aplicación inyectiva

.

Utilizando este hecho vamos a construir una aplicación inyectiva entre y . En efecto, sea . Esto implica que el conjunto es no vacío. Al ser este un subconjunto de los enteros positivos, existe y es único el valor . Definimos para cada de la unión y obtenemos una inyección. Así es ya que si fuera , entonces y también , luego y . Como es inyectiva, es . Esto termina la demostración.

Teorema 4. El conjunto de los enteros es numerable y también lo es el conjunto de los racionales.

Prueba. Sabemos que . Como cada uno de estos conjuntos es numerable, su unión también lo es y así el conjunto de los enteros es numerable. Sea el conjunto de los racionales. Entonces . La aplicación

.

dada por es sobreyectiva. Como es numerable (al ser un subconjunto de ), resulta que es numerable.

Todavía quedan más resultados que expondremos en un par de entradas posteriores.

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