Curso EVT. Lectura 21. Cardinales (4)

Recordemos que un conjunto A es numerable si es vacío, finito o equipotente al conjunto de los enteros positivos. Ahora vamos a dar propiedades de tales conjuntos y nos vamos a basar en la visto en lecturas anteriores.

Teorema 1. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Prueba. Sea A numerable y sea B un subconjunto de A. Sabemos que existe una aplicación inyectiva g:A \rightarrow \mathbb{N} y que la aplicación f:B \rightarrow A, dada por f(x)=x es inyectiva. En consecuencia, la composición g \circ f:B \rightarrow \mathbb{N} es inyectiva y B es numerable.

Teorema 2. El conjunto \mathbb{N} \times \mathbb{N} es numerable.

Prueba. Sea la aplicación

f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

dada por f(m,n) = 2^{m} 3^{n}. Vemos que es inyectiva. En efecto, si f(m,n)= f(a,b), entonces 2^{m} 3^{n} = 2^{a} 3^{b}, de donde 2^{m-a} = 3^{n-b} y esto sólo es posible si m-a=n-b=0. En consecuencia, f es inyectiva y \mathbb{N} \times \mathbb{N} es numerable.

Es fácil comprobar que este teorema implica el corolario siguiente.

Corolario 1. Si A y B son numerables. Entonces A \times B es numerable.

La demostración es sencilla y se deja a cargo del lector.

Teorema 3. La unión numerable de conjuntos numerables también es un conjunto numerable.

Prueba. Consideremos una colección (A_n) numerable de conjuntos numerables. Si alguno de ellos es vacío se suprime y no cambia la unión. Por ello no perdemos generalidad si consideramos el caso en que todos son no vacíos. Para cada n, existe una aplicación inyectiva

f_n : A_n \rightarrow \mathbb{N}.

Utilizando este hecho vamos a construir una aplicación inyectiva entre \cup_{n} A_n y \mathbb{N} \times \mathbb{N}. En efecto, sea a \in \cup_{n} A_n. Esto implica que el conjunto C_a=\{n \in \mathbb{N}: a \in A_n \} es no vacío. Al ser este un subconjunto de los enteros positivos, existe y es único el valor m_a = \min C_a. Definimos f(a) = (m_a, f_{m_{a}}(a)) para cada a de la unión y obtenemos una inyección. Así es ya que si fuera f(a)=f(b), entonces m_a = m_b=k y también f_{m_a}(a) = f_{m_b} (b), luego a,b \in A_k y f_k(a)=f_k(b). Como f_k es inyectiva, es a=b. Esto termina la demostración.

Teorema 4. El conjunto \mathbb{Z} de los enteros es numerable y también lo es el conjunto \mathbb{Q} de los racionales.

Prueba. Sabemos que \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{-n : n \in \mathbb{N}\}. Como cada uno de estos conjuntos es numerable, su unión también lo es y así el conjunto de los enteros es numerable. Sea \mathbb{Q} el conjunto de los racionales. Entonces \mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} : p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}. La aplicación

g : \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\}) \rightarrow \mathbb{Q}.

dada por f(p,q) =\frac{p}{q} es sobreyectiva. Como \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\}) es numerable (al ser un subconjunto de \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}), resulta que \mathbb{Q} es numerable.

Todavía quedan más resultados que expondremos en un par de entradas posteriores.

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