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Curso EVT. Lectura 20. Cardinales (3)

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Teorema 1. Sea un conjunto. Son equivalentes:
a) Existe , tal que es infinito numerable.
b) El conjunto es D-infinito.

Prueba. (a) implica (b). Supongamos que es infinito numerable. Hallaremos pues una biyección . Sea ahora el conjunto de los números pares. Es claro que la restricción es una biyección de en . También la aplicación , dada por es una biyección. Por tanto, es una aplicación inyectiva y aplica en . Podemos extender esta aplicación a todo mediante , si y si . Es fácil probar que es inyectiva y aplica en . Esto prueba que es D-infinito.
(b) implica (a). Como es D-infinito, existen y una biyección . Sea , entonces pues . Del mismo modo , pues si así fuera, entonces en contra de lo supuesto. Reiterando este argumento por inducción obtenemos un subconjunto que resulta numerable.

Teorema 2. Un conjunto es infinito si y sólo si contiene un subconjunto infinito numerable.

Prueba. Supongamos que y es infinito numerable. En ese caso, por el teorema anterior resulta que es D-infinito y, por tanto es infinito. Supongamos que es infinito . Sea el conjunto de las partes de . El axioma de elección nos garantiza la existencia de una función de elección . Con ella vamos a formar una sucesión mediante , si , si . Esta sucesión está bien formada ya que al ser infinito, se tiene que es no vacío para cualquier y como es una función de elección resulta que para cada no vacío. Así resultará que , si . El conjunto es numerable y está incluido en .

Llegamos por fin al resultado buscado.

Teorema 3. Todo conjunto infinito es D-infinito

Prueba. Sea infinito. Entonces existe , tal que es numerable (por el teorema 2) y, por tanto por el teorema 1 es D-infinito.

Cuando definimos el concepto de conjunto infinito utilizamos dos aproximaciones aparentemente diferentes. Una de ellas se basaba en la posibilidad de encontrar aplicaciones inyectivas sobre sí mismo que no eran sobreyectivas y otra se basaba en la imposibilidad de encontrar un entero positivo tal que el conjunto fuera equipotente a . Hemos visto que estas dos ideas son equivalentes pero para ello hemos tenido que usar el axioma de elección. A partir de ahora, usaremos una u otra sin distinción y daremos una serie de resultados básicos sobre operaciones y cardinales.

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