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Curso EVT. Lectura 19. Cardinales (2)

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Recordemos que un conjunto es D-infinito si es posible encontrar una aplicación que es inyectiva y no sobreyectiva. Existe otra forma de definir un conjunto infinito que parte de su idea contraria.

Definición 1. Sea el conjunto de los números naturales. Un conjunto es finito si es vacío o existe un subconjunto , de tal que es equipotente a . En otro caso diremos que el conjunto es infinito.

Si probamos que es D-finito, entonces por (d) del teorema 3 de la lectura 18, se sigue que todo conjunto finito es D-finito. Para hacer tal prueba suponemos conocida la buena ordenación de los números naturales.

Teorema 1. Para todo el conjunto es D-finito.

Prueba. Supongamos que es el subconjunto de los naturales formado por aquellos para los cuales es posible la existencia de una biyección de en uno de sus subconjuntos propios. Sea (cuya existencia está garantizada por la buena ordenación), entonces existe , donde , pero . Si suponemos que , se sigue que y de aquí . Por tanto,

.


Esto significa que aplica el conjunto en uno de sus subconjuntos propios y contradice la minimalidad de . Así pues, concluimos que . Esto da lugar a dos posibilidades:
a) Es . Entonces

.

Lo que implica que se aplica mediante la biyección en un subconjunto propio y volvemos a caer en contradicción.
b) Es para algun . Pero esto no nos salva de contradicción pues podemos “reordenar” los elementos mediante la biyección si , para y para para volver a la situación de (a) mediante la composición .
Concluimos pues que no es posible encontrar biyecciones entre y alguno de sus subconjuntos propios por lo que el conjunto es vacío y llegamos al resultado deseado.

Para terminar veremos que todo conjunto D-infinito es infinito según esta definición. Para eso necesitamos unos resultados previos.

Definición 2. Un conjunto se dice numerable si es finito o equipotente a los enteros positivos.
Teorema 2.Son equivalentes:
a) El conjunto es no vacío y numerable.
b) Existe una aplicación inyectiva .
c) Existe una aplicación sobreyectiva .

Prueba. (a) implica (b). Supongamos que es no vacío y finito. Entonces existe un entero positivo y una biyección . Como , la extensión es inyectiva. Si es infinito numerable, existe una biyección y dicha aplicación es trivialmente inyectiva.
(b) implica (c). Supongamos que existe una inyección . Sea , definimos , mediante , si y , si . Es fácil comprobar que es sobreyectiva y que podemos escribir . Esto es una enumeración de donde eventualmente existen elementos repetidos.
(c) implica (a). Sea una aplicación sobreyectiva. Si es no vacío y finito no hay nada que probar. En caso de ser infinito, escribimos como antes y eliminamos los elementos repetidos. Esto da lugar a una biyección y termina la demostración.

Nuestro objetivo final es probar que todo conjunto infinito es D-infinito (pues todo conjunto D-infinito es infinito en virtud de la implicación ya demostrada: finito implica D-finito) y para ello vamos a precisar de algunos resultados más que dejaremos para la próxima lectura.

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