Curso EVT. Lectura 19. Cardinales (2)

Recordemos que un conjunto E es D-infinito si es posible encontrar una aplicación f:E \rightarrow E que es inyectiva y no sobreyectiva. Existe otra forma de definir un conjunto infinito que parte de su idea contraria.

Definición 1. Sea \mathbb{N} el conjunto de los números naturales. Un conjunto E es finito si es vacío o existe un subconjunto S(n) =\{ 1, 2, \ldots, n \}, de \mathbb{N} tal que E es equipotente a S(n). En otro caso diremos que el conjunto es infinito.

Si probamos que S(n) es D-finito, entonces por (d) del teorema 3 de la lectura 18, se sigue que todo conjunto finito es D-finito. Para hacer tal prueba suponemos conocida la buena ordenación de los números naturales.

Teorema 1. Para todo n \in \mathbb{N} el conjunto S(n) = \{1,2, \ldots, n\} es D-finito.

Prueba. Supongamos que C es el subconjunto de los naturales formado por aquellos n para los cuales es posible la existencia de una biyección de S(n) en uno de sus subconjuntos propios. Sea m = \min C (cuya existencia está garantizada por la buena ordenación), entonces existe h: \{1,2, \ldots, m \} \rightarrow B, donde B \subset \{1,2, \ldots, m\}, pero B \neq \{1,2, \ldots, m\}. Si suponemos que m \notin B, se sigue que B \subset \{1,2, \ldots, m-1\} y de aquí h(\{1,2, \ldots, m-1\} \subset B-\{h(m)\}. Por tanto,

h(\{1,2,\ldots, m-1\}) \subset B-\{h(m)\} \subsetneq B \subset \{1,2, \ldots, m-1\}).

cevt19
Esto significa que h aplica el conjunto S(m-1) en uno de sus subconjuntos propios y contradice la minimalidad de m. Así pues, concluimos que m \in B. Esto da lugar a dos posibilidades:
a) Es h(m)=m. Entonces

h(\{1,2,\ldots, m-1\}) \subset B-\{m\} \subsetneq \{1,2, \ldots, m-1\}.

Lo que implica que S(m-1) se aplica mediante la biyección h en un subconjunto propio y volvemos a caer en contradicción.
b) Es h(j)=m para algun j \neq m. Pero esto no nos salva de contradicción pues podemos “reordenar” los elementos mediante la biyección g(i) = i si i \neq j,m, g(i) =j para i=m y g(i)=m para i=j para volver a la situación de (a) mediante la composición h \circ g.
Concluimos pues que no es posible encontrar biyecciones entre S(m) y alguno de sus subconjuntos propios por lo que el conjunto C es vacío y llegamos al resultado deseado.

Para terminar veremos que todo conjunto D-infinito es infinito según esta definición. Para eso necesitamos unos resultados previos.

Definición 2. Un conjunto A se dice numerable si es finito o equipotente a los enteros positivos.
Teorema 2.Son equivalentes:
a) El conjunto A es no vacío y numerable.
b) Existe una aplicación inyectiva f:A \rightarrow \mathbb{N}.
c) Existe una aplicación sobreyectiva \phi:\mathbb{N} \rightarrow A.

Prueba. (a) implica (b). Supongamos que A es no vacío y finito. Entonces existe un entero positivo n y una biyección f:A \rightarrow S(n). Como S(n) \subset \mathbb{N}, la extensión f:A \rightarrow \mathbb{N} es inyectiva. Si A es infinito numerable, existe una biyección f:A \rightarrow \mathbb{N} y dicha aplicación es trivialmente inyectiva.
(b) implica (c). Supongamos que existe una inyección f:A \rightarrow N. Sea x_0\in A, definimos \phi(x):\mathbb{N} \rightarrow A, mediante \phi(i) = x_0, si i \notin f(A) y \phi(i) = f^{-1}(i), si i \in f(A). Es fácil comprobar que \phi es sobreyectiva y que podemos escribir A= \{ \phi(1), \phi(2), \ldots, \phi(n), \ldots \}. Esto es una enumeración de A donde eventualmente existen elementos repetidos.
(c) implica (a). Sea \phi: \mathbb{N} \rightarrow A una aplicación sobreyectiva. Si A es no vacío y finito no hay nada que probar. En caso de ser infinito, escribimos como antes A= \{ \phi(1), \phi(2), \ldots, \phi(n), \ldots \} y eliminamos los elementos repetidos. Esto da lugar a una biyección y termina la demostración.

Nuestro objetivo final es probar que todo conjunto infinito es D-infinito (pues todo conjunto D-infinito es infinito en virtud de la implicación ya demostrada: A finito implica A D-finito) y para ello vamos a precisar de algunos resultados más que dejaremos para la próxima lectura.

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