Curso EVT. Lectura 18. Cardinales (1)

En esta lectura vamos a introducir algunas nociones sobre la cardinalidad de los conjuntos.

Definición 1. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que son coordinables, equivalentes o equipotentes si existe al menos una biyección (es decir, una aplicación inyectiva y sobreyectiva) entre A y B. Convenimos además en que el único conjunto equipotente al vacío es él mismo. Escribiremos A \approx B o bien |A| = |B| para notar que A y B son coordinables o equipotentes.

Se deduce fácilmente de la definición el siguiente resultado.

Teorema 1. Sean A,B y C conjuntos dados. Se cumplen las propiedades siguientes:
a) Es |A|= |A|.
b) Si es |A| = |B|, entonces |B|= |A|.
c) Si |A| = |B| y |B| = |C|, entonces |A| = |C|.

El teorema pueda dar lugar a la idea de que la relación de equipotencia entre conjuntos es una relación de equivalencia. Sin embargo, para que pudieramos afirmar tal cosa deberíamos tener una clase formada por todos los conjuntos. Esto no es posible pues la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo-Fraenkel afirma concretamente que tal clase no es un conjunto. Así pues, nos limitaremos a afirmar que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal o la misma cardinalidad o la misma potencia si son equipotentes.
La siguiente definición nos permite afinar un poco más a la hora de establecer comparaciones.

Definición 2. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A tiene un cardinal igual o menor que B y escribimos |A | \leq |B| si es posible hallar una aplicación inyectiva entre A y B.

La siguiente proposición da una definición equivalente.

Teorema 2. Dados los conjuntos A y B, es |A | \leq |B| si y sólo si podemos hallar un subconjunto de B equipotente a A.

Prueba. Supongamos que |A | \leq |B| entonces existe una aplicación inyectiva f: A \rightarrow B. Sea f(A) el subconjunto de B formado por las imágenes de los elementos de A. La aplicación f:A \rightarrow f(A) es una biyección puesto que es inyectiva y sobreyectiva. Recíprocamente, supongamos que existe una aplicación biyectiva g entre A y un subconjunto Y de B. Es inmediato que se trata de una aplicación inyectiva entre A y B. Esto termina nuestra demostración.

Podemos ir un paso más alla en esta definición.

Definición 3. Sean A y B dos conjuntos. Escribimos |A| < |B| si y sólo si existe una aplicación inyectiva f: A \rightarrow B pero ninguna sobreyectiva.

En este punto nos vamos a plantear la definición de conjuntos finitos e infinitos. Es importante tener claro que hay dos maneras de hacerlo y que ambas resultan equivalentes sólo en virtud del axioma de elección.

Definición 4. Un conjunto E se dice infinito (o infinito según Dedekind o D-infinito) si existe una aplicación inyectiva f:E \rightarrow E que no es sobreyectiva. Un conjunto que no es infinito se dice que es finito. En cuanto al conjunto vacío se considera finito por convenio.

Según la definición anterior. El conjunto \mathbb{N} de los enteros positivos es infinito pues la aplicación

f(n) = n+1

resulta inyectiva pero no suprayectiva. En efecto, si f(n) = f(m) es n+1=m+1 de donde n=m. Sin embargo, si tomamos m=1 no podremos hallar un entero positivo n tal que n+1=1 (el cero no vale pues no lo consideramos miembro de los enteros positivos).
Se puede probar fácilmente que un conjunto A es D-infinito si existe una biyección entre A y uno de sus subconjuntos propios B. En efecto, supongamos que existe una aplicación f:A \rightarrow A que es inyectiva pero no sobreyectiva, entonces tomando B=f(A) es B \subset A con B \neq A, por lo que la restricción f:A \rightarrow B es una biyección entre A y el subconjunto propio B. El recíproco es inmediato. Los siguientes resultados son más útiles.

Teorema 3. Sean E y F dos conjuntos y sea f:E \rightarrow F una aplicación,entonces
(a) Todo superconjunto de un conjunto infinito es infinito.
(b) Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.
(c) Si f es biyectiva y E es infinito, entonces F es infinito.
(d) Si f es biyectiva y E es finito, entonces F es finito.
(e) Si f es inyectiva y E es infinito, entonces F es infinito.
(f) Si f es inyectiva y F es finito, entonces E es finito.
(g) Si f es sobreyectiva y E es finito, entonces F es finito.
(h) Si f es sobreyectiva y F es infinito, entonces E es infinito.

Prueba. (a) Supongamos que E es infinito y que E \subset F. Si E=F no hay nada que probar y si E \neq F, sabemos que existe una aplicación f:E \rightarrow E que es inyectiva y no sobreyectiva (pues E es infinito). La aplicación g:F \rightarrow F dada por g(x) =f(x), si x \in E y g(x)=x, si x \in F-E es inyectiva (esto es inmediato) pero no es sobreyectiva pues sabemos que al menos existe un y \in E tal que f^{-1}(y)= g^{-1}(x) = \emptyset.
La prueba de (b) es inmediata pues (a) implica que si F es finito y E \subset F, entonces E es finito. Utilizamos el argumento contrapositivo.
(c). Si f:E \rightarrow F es una biyección y g:E \rightarrow E es inyectiva pero no sobreyectiva, tenemos que f \circ g \circ f^{-1}:F \rightarrow F es inyectiva (pues es composición de aplicaciones inyectivas) pero no sobreyectiva (si lo fuera también lo sería f^{-1} \circ(f \circ g \circ f^{-1}) \circ f=g).
(d) Si f:E \rightarrow F es biyectiva también lo es f^{-1} :F \rightarrow E por lo que aplicando (c) se tiene que si E es finito también lo será F (en realidad aplicamos de nuevo el argumento contrapositivo).
(e) Si E es infinito y f:E \rightarrow F es inyectiva, entonces podemos definir una biyección f:E \rightarrow f(E). Por (c) resulta que f(E) \subset F es infinito y por (a) es F infinito.
(f) Es el contrarecíproco de (e) y, en consecuencia, válido.
(g) Esta demostración precisa del axioma de elección. Una de sus consecuencias es que si f:E \rightarrow F es sobreyectiva, entonces existe una aplicación g:F \rightarrow E que es inyectiva. Por tanto, si E es finito entonces F también lo es por (f) y si F fuera infinito entonces E sería infinito por (e).
(h) Es el contrarecíproco de (g) y por tanto es válido.

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