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Curso EVT. Lectura 17. Aplicaciones Lineales (2)

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Vamos a continuar con el tema de las aplicaciones lineales. Probaremos que “conservan” los subespacios.

Teorema 1. Sea una aplicación lineal entre los -espacios y y sean un subespacio de y un subespacio de . Afirmamos que es un subespacio de y es un subespacio de .

Prueba. Si es un subespacio de , entonces es no vacío y su imagen es un subconjunto no vacío de . Sean elementos de . Hallaremos e de tales que . Por tanto, para cualesquiera escalares, tenemos que pertenece a y pertenece a . Esto prueba que es un subespacio de . Análogamente, si es un subespacio de , resulta que por lo que de la igualdad se sigue que y es un subconjunto no vacío de . Dados , se sigue que por lo que para cualesquiera escalares, tenemos que pertenece a , luego . Esto prueba que es un subespacio de .

Teorema 2. Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si su núcleo tiene al cero como único elemento

Prueba. Sabemos que para toda aplicación lineal. Por tanto, si es inyectiva y , concluiremos que y de aquí . Recíprocamente, supongamos que el núcleo de sólo tiene al vector como elemento y sean de tales que . Entonces basta observar que

para concluir que . Así pues, es inyectiva y termina nuestra demostración

Teorema 3. Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si .

Prueba. La prueba es inmediata.

También es fácil probar que si una aplicación es lineal y biyectiva, entonces también es lineal y biyectiva su inversa . Más interés tiene el siguiente teorema pues nos llevará al resultado más interesante de esta lectura.

Teorema 4. Sean y espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo y sea una base de . Podemos definir una aplicación lineal de en de la siguiente manera: para cada , definimos como un elemento cualquiera de y extendemos esta asignación a cada de mediante
, si ,
, si .
Donde una subfamilia finita de elementos de que da lugar a mediante su combinación lineal con coeficientes no nulos.

Prueba. En primer lugar, la aplicación está bien definida ya que la expresión de cada vector no nulo de como combinación lineal, con escalares no nulos, de elementos de es única. Supongamos que los vectores o o ambos sean nulos, entonces se comprueba de forma inmediata que para cualesquiera escalares, se tiene que . Sean e , dos vectores de expresados como combinación lineal de elementos de la base $ñatex B$ y sean y , para todo y todo , respectivamente. Entonces para cualesquiera escalares podemos escribir

,

donde y si , si y si . Por tanto, tenemos que

.

Esto prueba que es lineal.

Ahora llegamos al resultado central.

Teorema 5. Dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

Prueba. Supongamos que los -espacios y son isomorfos. Entonces existe una biyección lineal . Si , entonces y, en consecuencia, . Sea un espacio vectorial no trivial y sea una base de Hamel de . Probaremos que es una base de Hamel de . En efecto, sea una familia finita de elementos de y supongamos que . Entonces para cada el vector es un elemento de y podemos escribir . Como es biyectiva esto significa que y como es una subfamilia finita de , esto implica que para todo . Hemos probado pues que es linealmente independiente. Por otro lado, si es un elemento cualquiera de , tenemos que existe un de que verifica . Para dicho podemos hallar una subfamilia finita de elementos de , tal que y esto significa que . Evidentemente es una subfamilia finita de y de aquí que sea un sistema generador de . Como es una base y es una biyección, concluimos que .
Supongamos ahora que . Si ambas dimensiones son nulas, basta tomar la aplicación definida por para conseguir una biyección lineal (el lector puede comprobar este extremo fácilmente). Sea . Si es una base de y es una base de tenemos que la asignación , para cada , da lugar a una aplicación lineal de en (ver teorema 4) mediante: si y , si , donde una subfamilia finita de elementos de que genera mediante su combinación lineal con coeficientes no nulos. Claramente es inyectiva ya que y también es sobreyectiva pues . En consecuencia y son isomorfos.

Para acabar, exponemos un resultado conocido del álgebra lineal básica pero que a la luz de lo expuesto es válido para cualquier espacio vectorial ya sea de dimensión finita o infinita.

Teorema 6.Sea una aplicación lineal. Afirmamos que si es un subespacio de suplementario de , entonces es isomorfo a .

Prueba. Sea el núcleo de y sea su suplementario. Vamos a restringir la aplicación a . Dicha restricción es inyectiva ya que si y son elementos de y resulta que , entonces , de donde y . Luego y . Es claro que la imagen de la restricción de a está incluida en pero por otro lado, si es un elemento de , hallaremos un tal que . Ahora bien, como , con y , concluimos que . Esto prueba que está incluida en la imagen de la restricción de a y así ambas coinciden. La conclusión final es que es una biyección por lo que es isomorfo a .

Corolario 1. una aplicación lineal. Entonces

Prueba. Si es suplementario de , el corolario 2 de la lectura 14 permite afirmar que y el teorema 6 nos lleva a la igualdad buscada: .

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