MATEMATICAS.NET

Curso EVT. Lectura 16. Ampliación

Anuncios

Vamos a dar la demostración de la equicardinalidad de las bases de un espacio vectorial de una forma más compacta. Recordemos el teorema.

Teorema: Si y son dos bases de un espacio vectorial , entonces tienen el mismo número cardinal.

Prueba. Sea . Entonces por convenio su única base es el conjunto vacío. Por tanto, y, trivialmente (donde designa el cardinal del conjunto .
Supongamos ahora que . Sea una base finita con elementos. Si el cardinal de es diferente al de podemos convenir por simetría que . Así pues, hallaremos en vectores linealmente independientes

Como , (pues pertenece a un conjunto linealmente independiente) podemos afirmar que es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito de (recordemos que es una base de ). Sea un elemento de , entonces afirmamos que el conjunto

es una base de . En efecto, es un subconjunto de y como es linealmente independiente también lo será . Además, si dependiera linealmente de , entonces se podría expresar de dos formas diferentes como combinación lineal de elementos de : una en la que interviente y otra en la que no interviene. Pero esto no es posible pues es linealmente independiente y todos los elementos no nulos de su envoltura lineal (es decir, todos los vectores de ), se expresan de una única forma como combinación lineal de elementos de con coeficientes no nulos. Así pues, el conjunto es linealmente independiente. Es fácil probar que se trata de un sistema generador pues si para obtener como combinación lineal de elementos de interviene basta sustituirlo por su expresión despejada en función de . Supongamos ahora que para un número entero es posible hallar , de forma que

es una base de . En tal caso, como , hallaremos que dicho vector es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito de . Ahora bien, si en dicho conjunto finito sólo hubiera elementos de llegaríamos a la conclusión de que el conjunto es linealmente dependiente. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que habrá al menos un en . Afirmamos entonces que el conjunto

es una base de . Para probar que es un sistema generador de bastará usar el mismo argumento que hemos empleado para .
Veamos que es linealmente independiente. En efecto, como , concluimos que dicho subconjunto es linealmente independiente (pues lo es). Si dependiera linealmente de , entonces se expresaría de dos formas distintas como combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de : una en la que interviene y otra en la que no lo hace. Al ser una base esto no es posible. Luego no pertenece a la envoltura lineal del conjunto y esto prueba que

es linealmente independiente. Procediendo por inducción concluimos que

es una base e y esto significa que depende linealmente de . Esto contradice nuestra suposición inicial de que es linealmente independiente por lo que . Si fuera , repitiendo nuestra argumentación y cambiando y llegaríamos a . Por tanto, .
Sean ahora y bases de con cardinales infinitos. Sea un elemento de la base . Como , este elemento es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto de . Consideremos el conjunto

.

Por definición . Veremos que se da la inclusión recíproca y, en consecuencia, . En efecto, sea . Es posible hallar, tal que depende linealmente de (no olvidemos que también es una base$. Para cada , tomamos el conjunto y formamos

.

En particular, y depende linealmente de y, por tanto de . Si , entonces se expresaría de dos formas diferentes como elemento de . Una como elemento de y otra como elemento de . En consecuencia, no sería una base. Para evitar esta contradicción será y .
Para terminar, usando propiedades de la aritmética cardinal y el hecho de que , vemos que si es el cardinal de los enteros positivos:

.

Un razonamiento similar, cambiando y nos lleva a y de aquí .

Anuncios