Curso EVT. Lectura 16. Ampliación

Vamos a dar la demostración de la equicardinalidad de las bases de un espacio vectorial de una forma más compacta. Recordemos el teorema.

Teorema: Si A y B son dos bases de un espacio vectorial E, entonces tienen el mismo número cardinal.

Prueba. Sea E= \{0\}. Entonces por convenio su única base es el conjunto vacío. Por tanto, A=B= \emptyset y, trivialmente |A|=|B|=0 (donde |X| designa el cardinal del conjunto X.
Supongamos ahora que E \neq \{0 \}. Sea A una base finita con n elementos. Si el cardinal de B es diferente al de A podemos convenir por simetría que |B|>n. Así pues, hallaremos en E n+1 vectores linealmente independientes

y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1}

Como y_1 \neq 0, (pues pertenece a un conjunto linealmente independiente) podemos afirmar que es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito F(y_1) de A (recordemos que A es una base de E). Sea z_1 un elemento de F(y_1), entonces afirmamos que el conjunto

A_1 = \{y_1\} \cup (A-\{z_1\})

es una base de E. En efecto, A-\{z_1\} es un subconjunto de A y como A es linealmente independiente también lo será A-\{z_1\}. Además, si y_1 dependiera linealmente de A-\{z_1\}, entonces y_1 se podría expresar de dos formas diferentes como combinación lineal de elementos de A: una en la que interviente z_1 y otra en la que no interviene. Pero esto no es posible pues A es linealmente independiente y todos los elementos no nulos de su envoltura lineal (es decir, todos los vectores de E\{0\}), se expresan de una única forma como combinación lineal de elementos de A con coeficientes no nulos. Así pues, el conjunto A_1 = \{y_1\} \cup (A-\{z_1\}) es linealmente independiente. Es fácil probar que se trata de un sistema generador pues si para obtener x como combinación lineal de elementos de A interviene z_1 basta sustituirlo por su expresión despejada en función de y_1. Supongamos ahora que para un número entero 1 \leq r <n es posible hallar \{z_1, z_2, \ldots, z_r\} \subset A, de forma que

A_r = \{y_1, \ldots, y_r\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r\})

es una base de E. En tal caso, como y_{r+1} \neq 0, hallaremos que dicho vector es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto finito F(y_{r+1}) de A_{r}. Ahora bien, si en dicho conjunto finito sólo hubiera elementos de \{y_1, \ldots, y_r\} llegaríamos a la conclusión de que el conjunto \{y_1, y_2, \ldots, y_r, \ldots, y_n\} es linealmente dependiente. Esto contradice nuestra suposición inicial por lo que habrá al menos un z_{r+1} \in A-\{z_1, \ldots, z_r\} en F(y_{r+1}). Afirmamos entonces que el conjunto

A_{r+1} = \{y_1, \ldots, y_r, y_{r+1}\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r, z_{r+1}\})

es una base de E. Para probar que es un sistema generador de E bastará usar el mismo argumento que hemos empleado para A_1.
Veamos que es linealmente independiente. En efecto, como \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}) \subset A_r, concluimos que dicho subconjunto es linealmente independiente (pues A_r lo es). Si y_{r+1} dependiera linealmente de \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}), entonces se expresaría de dos formas distintas como combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de A_r: una en la que interviene z_{r+1} y otra en la que no lo hace. Al ser A_r una base esto no es posible. Luego y_{r+1} no pertenece a la envoltura lineal del conjunto \{y_1, \ldots, y_r\}\cup (A-\{z_1, \ldots, z_r,z_{r+1}\}) y esto prueba que

A_{r+1} = \{y_{r+1}\} \cup \{y_1, \ldots, y_r\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_r, z_{r+1}\})

es linealmente independiente. Procediendo por inducción concluimos que

A_{n} = \{y_1, \ldots, y_n\} \cup (A-\{z_1, \ldots, z_n\}) = \{y_1, \ldots, y_n\}

es una base e E y esto significa que y_{n+1} depende linealmente de \{y_1, y_2, \ldots, y_n \}. Esto contradice nuestra suposición inicial de que \{y_1, y_2, \ldots, y_n, y_{n+1}\} es linealmente independiente por lo que |B| \leq |A|. Si fuera |B|<n, repitiendo nuestra argumentación y cambiando A y B llegaríamos a |A| \leq |B|. Por tanto, |A| = |B|.
Sean ahora A y B bases de E con cardinales infinitos. Sea x un elemento de la base A. Como x \neq 0, este elemento es combinación lineal con coeficientes no nulos de un subconjunto F(x) de B. Consideremos el conjunto

M = \cup_{x \in A} F(x).

Por definición M \subset B. Veremos que se da la inclusión recíproca y, en consecuencia, M =B. En efecto, sea z \in B. Es posible hallar, S(z)=\{x_1, x_2, \ldots, x_r\} \subset A tal que z depende linealmente de S(z) (no olvidemos que A también es una base$. Para cada x_i \in S(z), tomamos el conjunto F(x_i) \subset B y formamos

N = \cup_{i=1}^{r} F(x_i).

En particular, N \subset M y z depende linealmente de N y, por tanto de M. Si z \in B-M, entonces z se expresaría de dos formas diferentes como elemento de B. Una como elemento de M y otra como elemento de B-M. En consecuencia, B no sería una base. Para evitar esta contradicción será z \in M y B \subset M.
Para terminar, usando propiedades de la aritmética cardinal y el hecho de que B=M, vemos que si \omega es el cardinal de los enteros positivos:

|B|= |M|= |\cup_{x \in A} F(x)| \leq \sum_{x \in A} |F(x)| \leq \sum_{x \in A} \omega = |A| \omega = |A|.

Un razonamiento similar, cambiando A y B nos lleva a |A| \leq |B| y de aquí |A|=|B|.

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