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Curso EVT. Lectura 15. Aplicaciones Lineales (1)

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Definición 1. Sean y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Una aplicación se dice lineal, homomorfismo o transformación lineal si para cada de y cada de , verifica:
a) .
b).

El conjunto de las aplicaciones lineales entre dos -espacios y se nota por . Es claro que dicho conjunto no es nunca vacío. Pues la aplicación
.
es lineal. Por otro lado, si y son elementos de podemos definir como la aplicación de en dada por

.

Análogamente, para cada podemos definir la aplicación de en mediante

.
Teorema 1.El conjunto con las operaciones suma y producto antes definidas es un espacio vectorial sobre .

Prueba. En primer lugar, las aplicaciones están bien definidas. Sean y elementos de y un elemento de , tanto y son elementos de . En efecto, si y , tenemos que

,
.

Esto prueba que es lineal (el lector observará que hemos empleado el carácter lineal de las aplicaciones y y las propiedades de la suma y producto por escalares en el espacio ). Del mismo modo, tenemos que

.
.

Esto termina nuestra demostración.

Sabemos que es un espacio vectorial sobre sí mismo. Toda aplicación lineal se llamará forma lineal y el espacio vectorial se denomina espacio dual de y se suele notar . Veremos estos conceptos con mucho más detalle en próximas entradas. A continuación damos las primeras propiedades de las aplicaciones lineales deducidas de su definición.

Teorema 2. Sea una aplicación lineal. Se cumplen:
a) .
b) , para todo .
c) , para cualesquiera y .

Prueba. Sea una aplicación lineal. Como para cualquier , tenemos que . En consecuencia (a) queda probado. Sea . Entonces . Por tanto, y (b) queda probado. La prueba de (c) se hace por inducción sobre y resulta inmediata.

Definición 2. Sea una aplicación lineal.
a) Si se dice que es un endomorfismo.
b) Si es inyectiva se dice que es un monomorfismo.
c) Si es sobreyectiva se dice que es un epimorfismo
d) Si Si es biyectiva se dice que es un isomorfismo.
e) Si y es biyectiva, entonces se dice que es un automorfismo.
Definición 3. Sea una aplicación lineal entre los -espacios y . El conjunto se denomina núcleo de y se nota por . El conjunto se llama imagen de y se notará por .
Teorema 3. El núcleo de una aplicación lineal es un subespacio del conjunto inicial y la imagen es un subespacio del conjunto final.

Prueba.La propiedad (a) del teorema 1 muestra que pertenece a y éste resulta no vacío. Sean e elementos de y sean escalares. Entonces . Esto prueba que pertenece a y este subconjunto es un subespacio de . Por otro lado, como es un elemento de , tenemos que es un elemento de y este subconjunto de es no vacío. Si y son elementos de , hallaremos e , elementos de , tales que y . Por tanto, para cualesquiera escalares, resulta un elemento de , siendo , un elemento de . Esto prueba que es un subespacio de y termina la demostración.

Como el núcleo y la imagen son subespacios podemos considerar sus dimensiones. La dimensión de se denomina nulidad de y la dimensión de se llama rango de . En una próxima entrada relacionaremos estas dimensiones con la dimensión del espacio inicial de .

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