Curso EVT. Lectura 15. Aplicaciones Lineales (1)

Definición 1. Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una aplicación f:E \rightarrow F se dice lineal, homomorfismo o transformación lineal si para cada x,y de E y cada \lambda de K, verifica:
a) f(x+y) = f(x)+f(y).
b)f(\lambda x) = \lambda f(x).

El conjunto de las aplicaciones lineales entre dos K-espacios E y F se nota por \mathcal{L}(E,F). Es claro que dicho conjunto no es nunca vacío. Pues la aplicación
f(x) = 0, \quad \text{para todo} \quad x \in E.
es lineal. Por otro lado, si f y g son elementos de \mathcal{L}(E,F) podemos definir f+g como la aplicación de E en F dada por

(f+g)(x) = f(x)+g(x), \quad x \in E.

Análogamente, para cada \lambda \in K podemos definir la aplicación \lambda f de E en F mediante

(\lambda f)(x) = \lambda f(x), \quad x \in E.
Teorema 1.El conjunto \mathcal{L}(E,F) con las operaciones suma y producto antes definidas es un espacio vectorial sobre K.

Prueba. En primer lugar, las aplicaciones están bien definidas. Sean f y g elementos de \mathcal{L}(E,F) y \lambda un elemento de K, tanto f+g y \lambda f son elementos de \mathcal{L}(E,F). En efecto, si x,y \in E y \mu \in K, tenemos que

(f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = f(x)+g(x)+f(y)+g(y) = (f+g)(x)+ (f+g)(y),
(f+g)( \mu x) = f(\mu x)+ g(\mu x) = \mu f(x)+ \mu g(x) = \mu (f(x)+ g(x)) = \mu (f+g) (x).

Esto prueba que f+g es lineal (el lector observará que hemos empleado el carácter lineal de las aplicaciones f y g y las propiedades de la suma y producto por escalares en el espacio F). Del mismo modo, tenemos que

((\lambda f)(x+y) = \lambda f(x+y) = \lambda (f(x)+ f(y) ) = \lambda f(x) + \lambda f(y) = (\lambda f) (x) + (\lambda f) (y).
(\lambda f) ( \mu x) = \lambda f(\mu x) = \lambda (\mu f(x)) =(\lambda \mu)f(x)=(\mu \lambda) f(x) = \mu (\lambda f(x)) = \mu (\lambda f)(x).

Esto termina nuestra demostración.

Sabemos que K es un espacio vectorial sobre sí mismo. Toda aplicación lineal f: E \rightarrow K se llamará forma lineal y el espacio vectorial \mathcal{L}(E,K) se denomina espacio dual de E y se suele notar E^{*}. Veremos estos conceptos con mucho más detalle en próximas entradas. A continuación damos las primeras propiedades de las aplicaciones lineales deducidas de su definición.

Teorema 2. Sea f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Se cumplen:
a) f(0) = 0.
b) f(-x)=-f(x), para todo x \in E.
c) f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f(x_{i}), para cualesquiera \lambda_{i} \in K y x_{i} \in E.

Prueba. Sea f: E \rightarrow F una aplicación lineal. Como 0 = 0 x para cualquier x \in E, tenemos que f(0) = f(0x) = 0 f(x) = 0. En consecuencia (a) queda probado. Sea x \in E. Entonces 0 = f(0) = f(x+(-x)) = f(x)+f(-x). Por tanto, f(-x) = -f(x) y (b) queda probado. La prueba de (c) se hace por inducción sobre n y resulta inmediata.

Definición 2. Sea f:E \rightarrow F una aplicación lineal.
a) Si E=F se dice que f es un endomorfismo.
b) Si f es inyectiva se dice que es un monomorfismo.
c) Si f es sobreyectiva se dice que es un epimorfismo
d) Si Si f es biyectiva se dice que es un isomorfismo.
e) Si E=F y f es biyectiva, entonces se dice que es un automorfismo.
Definición 3. Sea f una aplicación lineal entre los K-espacios E y F. El conjunto \{ x \in E : f(x) = 0 \} se denomina núcleo de f y se nota por Ker (f). El conjunto \{f(x) : x \in E \} se llama imagen de f y se notará por Im (f).
Teorema 3. El núcleo de una aplicación lineal es un subespacio del conjunto inicial y la imagen es un subespacio del conjunto final.

Prueba.La propiedad (a) del teorema 1 muestra que 0 pertenece a Ker (f) y éste resulta no vacío. Sean x e y elementos de Ker (f) y sean \lambda, \mu escalares. Entonces f( \lambda x + \mu y) = f(\lambda x)+ f( \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y) = \lambda 0 + \mu 0 = 0. Esto prueba que \lambda x + \mu y pertenece a Ker (f) y este subconjunto es un subespacio de E. Por otro lado, como 0 es un elemento de E, tenemos que f(0) = 0 es un elemento de Im (f) y este subconjunto de F es no vacío. Si z y t son elementos de Im (f), hallaremos x e y, elementos de E, tales que f(x)=z y f(y) = t. Por tanto, para cualesquiera \lambda,\mu escalares, resulta \lambda x + \mu y un elemento de E, siendo f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y)= \lambda z + \mu t, un elemento de Im (f). Esto prueba que Im (f) es un subespacio de F y termina la demostración.

Como el núcleo y la imagen son subespacios podemos considerar sus dimensiones. La dimensión de Ker (f) se denomina nulidad de f y la dimensión de Im (f) se llama rango de f. En una próxima entrada relacionaremos estas dimensiones con la dimensión del espacio inicial de f.

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