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Problemas resueltos (Carothers). Ampliación (14)

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Vamos a completar los resultados de la entrada (13) de (Carothers). En primer lugar, probaremos que si , entonces es un punto de aglomeración de la sucesión y, evidentemente, el menor de ellos.

Si . Es claro que

, para todo .

Esto significa que la sucesión no está acotada inferiormente por lo que para todo existe un entero positivo , de forma que para cierto entero es y el entorno contiene una infinidad de términos de la sucesión (en concreto los ) por lo que es punto de aglomeración de ésta.

Sea , sabemos que por lo que será el único punto de aglomeración (recordemos que el límite, si existe, es el único punto de aglomeración).

Razonamientos análogos prueban que en el caso de que , dicho límite superior es el mayor de los puntos de aglomeración de de la sucesión . Estamos ahora en condiciones de dar otro importante resultado.

Teorema 1. Todo punto de aglomeración de una sucesión es el límite de una subsucesión de .

Prueba. Recordemos el teorema 2 de la entrada (13) de (Carothers):

El punto es de aglomeración de una sucesión de números reales si y sólo si
Para todo y para todo , existe un tal que .

Esto significa que si es un punto de aglomeración de podemos forma una subsucesión convergente a sin más que tomar para cada y cada un entero positivo , de forma que .

El teorema 1 junto con los resultados ya probados nos permite dar una serie de interesantes corolarios.

Corolario 1. Una sucesión de números reales es convergente a un punto de la recta ampliada si y sólo si todas sus subsucesiones convergen al mismo punto.

Prueba. Si es el límite de y es una subsucesión de entonces es evidente que también converge a . Recíprocamente, si todas las subsucesiones de convergen al mismo punto , concluimos que dicho punto es el único punto de aglomeración y que .

Corolario 2. Sea una sucesión de números reales tal que las subsucesiones y convergen al mismo punto. Entonces la sucesión converge a dicho punto. El recíproco también es cierto.

Prueba. Sea . Hallaremos un entero positivo tal que para y otro entero positivo tal que , si . Tomando es , si , lo que prueba que . El recíproco es inmediato en virtud del corolario 1.

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