Problemas resueltos (Carothers). Ampliación (14)

Vamos a completar los resultados de la entrada (13) de (Carothers). En primer lugar, probaremos que si \lim \inf a_n = -\infty, entonces -\infty es un punto de aglomeración de la sucesión a_n y, evidentemente, el menor de ellos.

Si \lim \inf a_n = \sup_{n} \{inf \{a_k : k \geq n \} \} = - \infty. Es claro que

\inf \{a_k : k \geq n \} = - \infty, para todo n .

Esto significa que la sucesión a_n no está acotada inferiormente por lo que para todo \epsilon >0 existe un entero positivo n > \epsilon, de forma que para cierto entero m(n) es a_{m(n)} <-n<-\epsilon y el entorno E(+\infty, \epsilon) =[-\infty, \epsilon) contiene una infinidad de términos de la sucesión (en concreto los a_{m(n)}) por lo que -\infty es punto de aglomeración de ésta.

Sea \lim \inf a_n = +\infty, sabemos que \lim a_n =+\infty por lo que +\infty será el único punto de aglomeración (recordemos que el límite, si existe, es el único punto de aglomeración).

Razonamientos análogos prueban que en el caso de que \lim \sup a_n = +\infty, -\infty , dicho límite superior es el mayor de los puntos de aglomeración de de la sucesión a_n. Estamos ahora en condiciones de dar otro importante resultado.

Teorema 1. Todo punto de aglomeración de una sucesión a_n es el límite de una subsucesión de a_n.

Prueba. Recordemos el teorema 2 de la entrada (13) de (Carothers):

El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Esto significa que si p es un punto de aglomeración de a_n podemos forma una subsucesión a_m(n) convergente a p sin más que tomar para cada \epsilon>0 y cada n un entero positivo m(n) > n, de forma que a_{m(n)} \in E(p, \epsilon).

El teorema 1 junto con los resultados ya probados nos permite dar una serie de interesantes corolarios.

Corolario 1. Una sucesión a_n de números reales es convergente a un punto de la recta ampliada si y sólo si todas sus subsucesiones convergen al mismo punto.

Prueba. Si p \in \mathbb{R} es el límite de a_n y a_{n(m)} es una subsucesión de a_{n(m)} entonces es evidente que también a_{n(m)} converge a p. Recíprocamente, si todas las subsucesiones de a_n convergen al mismo punto p, concluimos que dicho punto es el único punto de aglomeración y que \lim \inf a_n = \lim \sup a_n = p = \lim a_n.

Corolario 2. Sea a_n una sucesión de números reales tal que las subsucesiones a_{2n} y a_{2n+1} convergen al mismo punto. Entonces la sucesión a_{n} converge a dicho punto. El recíproco también es cierto.

Prueba. Sea \epsilon>0. Hallaremos un entero positivo N_1 tal que a_{2n} \in E(p, \epsilon) para n \geq N_1 y otro entero positivo N_2 tal que a_{2n+1} \in E(p, \epsilon), si n \geq N_2. Tomando N= \max \{N_1, N_2 \} es a_{n} \in E(p,\epsilon), si n \geq N, lo que prueba que \lim a_n = p. El recíproco es inmediato en virtud del corolario 1.

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