MATEMATICAS.NET

Problemas Resueltos (Carothers). Ampliación (13)

Anuncios

Sea una sucesión de números reales. Sea un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de como el subconjunto de enteros positivos:

.

El lector observará que si es la aplicación que define la sucesión , el soporte de no es más que el conjunto .

Si , entonces . En efecto, recordemos que implica .

Sea  un número real y sea , el conjunto se llama entorno de centro y radio y consiste en el intervalo abierto , siendo su soporte

.

Por otro lado, notaremos mediante el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es . También si es un conjunto, escribiremos para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.

Definición 1. Una sucesión de números reales converge al punto si y sólo si
Para todo es y .

Es decir, si y sólo si para cada hay una infinidad de términos de la sucesión en y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.

Definición 2. El punto es de aglomeración de una sucesión de números reales si y sólo si
Para todo es  .

Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración

Teorema 1. El límite de una sucesión de números reales es su único punto de aglomeración.

Prueba. Supongamos que y que es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando , es y  . Ahora bien, la definición de este permite afirmar que por lo que

y también , por lo que

.

Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de . Para evitar esta contradicción será y el límite es el único punto de aglomeración.

Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.

Teorema 2. El punto es de aglomeración de una sucesión de números reales si y sólo si
Para todo y para todo , existe un tal que .

Prueba. Supongamos que es un punto de aglomeración. Sea y sea un entero positivo. Como el conjunto es infinito numerable y el conjunto es finito, resulta que existe al menos un entero positivo , tal que . Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea y sea , entonces hallaremos tal que . Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno . El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para . Sea el conjunto de enteros con esta propiedad y sea . Entonces por la propiedad supuesta hallaremos que cumple . Evidentemente, y así hay enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.

A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier es

,

.

Definición 3. La sucesión de números reales diverge a si y sólo si
Para todo es y

La definición correspondiente para una sucesión que diverge a es análoga.

Definición 4. El valor es punto de aglomeración de la sucesión si y sólo si
Para todo es

La definición para el caso es análoga.

Teorema 3. El límite inferior de una sucesión de números reales es el menor de sus puntos de aglomeración.

Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea .  Si suponemos que no es un punto de aglomeración de la sucesión , entonces existe un tal que en el entorno   sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión.  Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos.  Es decir, que dado es posible hallar un tal que o o ambos casos. Recordemos que si , entonces por lo que para dicho hallaremos un entero positivo tal que

, para .

Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que . Por tanto, supondremos que existe para el que si . Ahora bien, esto nos permite afirmar que

.

Pero esto es absurdo pues es cota superior de la sucesión . Para evitar estas contradicciones, es un punto de aglomeración de la sucesión . Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión y supongamos que existe tal que y . Sea . Hallaremos para el que

,

lo cual nos permite afirmar que para . Así pues en el entorno sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto, . Esto significa que no es un punto de acumulación de .

De forma similar se puede probar que

Teorema 4. El límite superior de una sucesión de números reales es el mayor de sus puntos de aglomeración.

Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean o . Pero lo dejaremos para una próxima entrada.

Anuncios