Problemas Resueltos (Carothers). Ampliación (13)

Sea $a_n$ una sucesión de números reales. Sea $A$ un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de $A$ como el subconjunto de enteros positivos:

$s(A)= \{n \in \mathbb{N} : a_n \in A \}$ .

El lector observará que si $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ es la aplicación que define la sucesión $a_n$ , el soporte de $A \subset \mathbb{R}$ no es más que el conjunto $f^{-1}(A)$ .

Si $A \subset B$ , entonces $s(A) \subset s(B)$ . En efecto, recordemos que $A \subset B$ implica $s(A)=f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) = s(B)$ .

Sea $x$ un número real y sea $\epsilon >0$ , el conjunto $E(x,\epsilon)$ se llama entorno de centro $x$ y radio $\epsilon$ y consiste en el intervalo abierto $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ , siendo su soporte

$s(E(x,\epsilon) ) = \{ n \in \mathbb{N} : x-\epsilon < a_n < x+\epsilon \}$ .

Por otro lado, notaremos mediante $\omega$ el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es $\omega$ . También si $A$ es un conjunto, escribiremos $|A|$ para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.

Definición 1. Una sucesión $a_n$ de números reales converge al punto $x \in \mathbb{R}$ si y sólo si

Para todo $\epsilon >0$ es $|s(E(x, \epsilon) )| = \omega$ y $|s(\mathbb{R}-E(x,\epsilon))| < \omega$ .

Es decir, $\lim a_n =x$ si y sólo si para cada $\epsilon>0$ hay una infinidad de términos de la sucesión en $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.

Definición 2. El punto $p \in \mathbb{R}$ es de aglomeración de una sucesión $a_n$ de números reales si y sólo si

Para todo $\epsilon > 0$ es $|s(E(p,\epsilon))| = \omega$ .

Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión $a_n$ es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración

Teorema 1. El límite $x$ de una sucesión $a_n$ de números reales es su único punto de aglomeración.

Prueba. Supongamos que $\lim a_n = p$ y que $q \neq p$ es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando $0<\epsilon < \frac{|p-q|}{2}$ , es $|s(E(p,\epsilon))| = \omega$ y $|s(\mathbb{R}-E(p,\epsilon))| < \omega$ . Ahora bien, la definición de este $\epsilon$ permite afirmar que $E(p,\epsilon) \cap E(q,\epsilon) = \emptyset$ por lo que

$E(q,\epsilon) \subset (\mathbb{R}-E(p,\epsilon))$

y también $s(E(q, \epsilon)) \subset s(\mathbb{R} -E(p,\epsilon))$ , por lo que

$|s(E(q,\epsilon) )| < \omega$ .

Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de $q$ . Para evitar esta contradicción será $p=q$ y el límite es el único punto de aglomeración.

Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.

Teorema 2. El punto $p \in \mathbb{R}$ es de aglomeración de una sucesión $a_n$ de números reales si y sólo si

Para todo $\epsilon > 0$ y para todo $N \in \mathbb{N}$ , existe un $n > N$ tal que $a_n \in E(p,\epsilon)$ .

Prueba. Supongamos que $p$ es un punto de aglomeración. Sea $\epsilon >0$ y sea $N$ un entero positivo. Como el conjunto $s(E(p,\epsilon))$ es infinito numerable y el conjunto $\{1,2, \ldots, N \}$ es finito, resulta que existe al menos un entero positivo $n > N$ , tal que $a_n \in E(p, \epsilon)$ . Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea $\epsilon>0$ y sea $N=1$ , entonces hallaremos $n >1$ tal que $a_n \in E(p,\epsilon)$ . Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno $E(p, \epsilon)$ . El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para $k=1$ . Sea $\{1, 2, \ldots, k \}$ el conjunto de enteros con esta propiedad y sea $M= \max \{1,2, \ldots, k \}$ . Entonces por la propiedad supuesta hallaremos $n >M$ que cumple $a_n \in E(p, \epsilon)$ . Evidentemente, $n \neq 1,2, \ldots, k$ y así hay $k+1$ enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.

A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier $\epsilon >0$ es

$E(+\infty, \epsilon) = (\epsilon, +\infty]$ ,

$E(-\infty,\epsilon)=[-\infty, -\epsilon)$ .

Definición 3. La sucesión $a_n$ de números reales diverge a $+\infty$ si y sólo si

Para todo $\epsilon > 0$ es $|s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega$ y $|s(\mathbb{R}-E(+\infty, \epsilon))|< \omega$

La definición correspondiente para una sucesión que diverge a $-\infty$ es análoga.

Definición 4. El valor $+\infty$ es punto de aglomeración de la sucesión $a_n$ si y sólo si

Para todo $\epsilon > 0$ es $|s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega$

La definición para el caso $p= -\infty$ es análoga.

Teorema 3. El límite inferior de una sucesión $a_n$ de números reales es el menor de sus puntos de aglomeración.

Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea $\lim \inf a_n =a \in \mathbb{R}$ . Si suponemos que $a$ no es un punto de aglomeración de la sucesión $a_n$ , entonces existe un $\epsilon_1 >0$ tal que en el entorno $E(a,\epsilon_1)$ sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión. Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos. Es decir, que dado $N$ es posible hallar un $r>N$ tal que $a_r \leq a-\epsilon_1$ o $a+\epsilon_1 \leq a_r$ o ambos casos. Recordemos que si $t_n= \inf \{a_k : k \geq n \}$ , entonces $a = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \}$ por lo que para dicho $\epsilon_1$ hallaremos un entero positivo $s$ tal que

$a-\epsilon_1<t_s \leq a_{j}$ , para $j \geq s$ .

Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que $a-\epsilon_1$ . Por tanto, supondremos que existe $m$ para el que $a_{k} \geq a+\epsilon_1$ si $k \geq m$ . Ahora bien, esto nos permite afirmar que

$a< a+\epsilon_1 \leq t_m$ .

Pero esto es absurdo pues $a$ es cota superior de la sucesión $t_n$ . Para evitar estas contradicciones, $a$ es un punto de aglomeración de la sucesión $a_n$ . Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea $ac(a_n)$ el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión $a_n$ y supongamos que existe $b \in \mathbb{R}$ tal que $b \in ac(a_n)$ y $b<a$ . Sea $0<\delta < \frac{|b-a|}{2}$ . Hallaremos $r \in \mathbb{N}$ para el que

$a-\delta < \inf \{ a_k : k \geq r \}$ ,

lo cual nos permite afirmar que $a_n > a-\delta >b+\delta$ para $n \geq r$ . Así pues en el entorno $E(b,\delta)$ sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto, $a_1, a_2, \ldots, a_{r-1}$ . Esto significa que $b$ no es un punto de acumulación de $a_n$ .

De forma similar se puede probar que

Teorema 4. El límite superior de una sucesión $a_n$ de números reales es el mayor de sus puntos de aglomeración.

Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean $-\infty$ o $+\infty$ . Pero lo dejaremos para una próxima entrada.

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