Problemas Resueltos (Carothers). Ampliación (13)

Sea a_n una sucesión de números reales. Sea A un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de A como el subconjunto de enteros positivos:

s(A)= \{n \in \mathbb{N} : a_n \in A \}.

El lector observará que si f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} es la aplicación que define la sucesión a_n, el soporte de A \subset \mathbb{R} no es más que el conjunto f^{-1}(A).

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Si A \subset B, entonces s(A) \subset s(B). En efecto, recordemos que A \subset B implica s(A)=f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B) = s(B).

Sea x un número real y sea \epsilon >0, el conjunto E(x,\epsilon) se llama entorno de centro x y radio \epsilon y consiste en el intervalo abierto (x-\epsilon, x+\epsilon), siendo su soporte

s(E(x,\epsilon) ) = \{ n \in \mathbb{N} : x-\epsilon < a_n < x+\epsilon \}.

Por otro lado, notaremos mediante \omega el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es \omega. También si A es un conjunto, escribiremos |A| para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.

Definición 1. Una sucesión a_n de números reales converge al punto x \in \mathbb{R} si y sólo si
Para todo \epsilon >0 es |s(E(x, \epsilon) )| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(x,\epsilon))| < \omega.

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Es decir, \lim a_n =x si y sólo si para cada \epsilon>0 hay una infinidad de términos de la sucesión en (x-\epsilon, x+\epsilon) y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.

Definición 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es  |s(E(p,\epsilon))| = \omega.

Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión a_n es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración

Teorema 1. El límite x de una sucesión a_n de números reales es su único punto de aglomeración.

Prueba. Supongamos que \lim a_n = p y que q \neq p es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando 0<\epsilon < \frac{|p-q|}{2}, es |s(E(p,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(p,\epsilon))| < \omega . Ahora bien, la definición de este \epsilon permite afirmar que E(p,\epsilon) \cap E(q,\epsilon) = \emptyset por lo que

E(q,\epsilon) \subset (\mathbb{R}-E(p,\epsilon))

y también s(E(q, \epsilon)) \subset s(\mathbb{R} -E(p,\epsilon)), por lo que

|s(E(q,\epsilon) )| < \omega.

Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de q. Para evitar esta contradicción será p=q y el límite es el único punto de aglomeración.

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Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.

Teorema 2. El punto p \in \mathbb{R} es de aglomeración de una sucesión a_n de números reales si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 y para todo N \in \mathbb{N}, existe un n > N tal que a_n \in E(p,\epsilon).

Prueba. Supongamos que p es un punto de aglomeración. Sea \epsilon >0 y sea N un entero positivo. Como el conjunto s(E(p,\epsilon)) es infinito numerable y el conjunto \{1,2, \ldots, N \} es finito, resulta que existe al menos un entero positivo n > N, tal que a_n \in E(p, \epsilon). Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea \epsilon>0 y sea N=1, entonces hallaremos n >1 tal que a_n \in E(p,\epsilon). Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno E(p, \epsilon). El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para k=1. Sea \{1, 2, \ldots, k \} el conjunto de enteros con esta propiedad y sea M= \max \{1,2, \ldots, k \}. Entonces por la propiedad supuesta hallaremos n >M que cumple a_n \in E(p, \epsilon). Evidentemente, n \neq 1,2, \ldots, k y así hay k+1 enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.

A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier \epsilon >0 es

E(+\infty, \epsilon) = (\epsilon, +\infty],

E(-\infty,\epsilon)=[-\infty, -\epsilon).

Definición 3. La sucesión a_n de números reales diverge a +\infty si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega y |s(\mathbb{R}-E(+\infty, \epsilon))|< \omega

La definición correspondiente para una sucesión que diverge a -\infty es análoga.

Definición 4. El valor +\infty es punto de aglomeración de la sucesión a_n si y sólo si
Para todo \epsilon > 0 es |s(E (+\infty,\epsilon))| = \omega

La definición para el caso p= -\infty es análoga.

Teorema 3. El límite inferior de una sucesión a_n de números reales es el menor de sus puntos de aglomeración.

Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea \lim \inf a_n =a \in \mathbb{R}.  Si suponemos que a no es un punto de aglomeración de la sucesión a_n, entonces existe un \epsilon_1 >0 tal que en el entorno  E(a,\epsilon_1) sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión.  Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos.  Es decir, que dado N es posible hallar un r>N tal que a_r \leq a-\epsilon_1 o a+\epsilon_1 \leq a_r o ambos casos. Recordemos que si t_n= \inf \{a_k : k \geq n \}, entonces a = \sup \{t_n : n \in \mathbb{N} \} por lo que para dicho \epsilon_1 hallaremos un entero positivo s tal que

a-\epsilon_1<t_s \leq a_{j}, para j \geq s.

Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que a-\epsilon_1. Por tanto, supondremos que existe m para el que a_{k} \geq a+\epsilon_1 si k \geq m. Ahora bien, esto nos permite afirmar que

a< a+\epsilon_1 \leq t_m.

Pero esto es absurdo pues a es cota superior de la sucesión t_n. Para evitar estas contradicciones, a es un punto de aglomeración de la sucesión a_n. Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea ac(a_n) el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión a_n y supongamos que existe b \in \mathbb{R} tal que b \in ac(a_n) y b<a. Sea 0<\delta < \frac{|b-a|}{2}. Hallaremos r \in \mathbb{N} para el que

a-\delta < \inf \{ a_k : k \geq r \},

lo cual nos permite afirmar que a_n > a-\delta >b+\delta para n \geq r. Así pues en el entorno E(b,\delta) sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto, a_1, a_2, \ldots, a_{r-1}. Esto significa que b no es un punto de acumulación de a_n.

De forma similar se puede probar que

Teorema 4. El límite superior de una sucesión a_n de números reales es el mayor de sus puntos de aglomeración.

Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean -\infty o +\infty. Pero lo dejaremos para una próxima entrada.

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