Sea una sucesión de números reales. Sea
un subconjunto de la recta real, definimos el soporte de
como el subconjunto de enteros positivos:
.
El lector observará que si es la aplicación que define la sucesión
, el soporte de
no es más que el conjunto
.
Si , entonces
. En efecto, recordemos que
implica
.
Sea un número real y sea
, el conjunto
se llama entorno de centro
y radio
y consiste en el intervalo abierto
, siendo su soporte
.
Por otro lado, notaremos mediante el cardinal de los números naturales. Es decir, un conjunto es equipotente al conjunto de los naturales si y sólo si su cardinal es
. También si
es un conjunto, escribiremos
para notar a su cardinal. El propósito de estas nociones es dar una nueva definición de límite de una sucesión.
Definición 1. Una sucesión |
Para todo |
Es decir, si y sólo si para cada
hay una infinidad de términos de la sucesión en
y una cantidad finita fuera de este intervalo. Es fácil probar que esta definición de límite coincide con la dada usando el valor absoluto. Pero además nos permite dar nuevos conceptos de gran utilidad.
Definición 2. El punto |
Para todo |
Obviamente, según esta definición, el límite de una sucesión es también un punto de aglomeración. En particular, resulta ser su único punto de aglomeración
Teorema 1. El límite |
Prueba. Supongamos que y que
es otro punto de aglomeración de la sucesión. En ese caso tomando
, es
y
. Ahora bien, la definición de este
permite afirmar que
por lo que
y también , por lo que
.
Pero esto contradice el carácter de punto de acumulación de . Para evitar esta contradicción será
y el límite es el único punto de aglomeración.
Existe una caracterización equivalente de los puntos de aglomeración que nos resultará útil más adelante.
Teorema 2. El punto |
Para todo |
Prueba. Supongamos que es un punto de aglomeración. Sea
y sea
un entero positivo. Como el conjunto
es infinito numerable y el conjunto
es finito, resulta que existe al menos un entero positivo
, tal que
. Recíprocamente, supongamos que se da la propiedad del teorema. Sea
y sea
, entonces hallaremos
tal que
. Probaremos por inducción que hay una infinidad de términos de la sucesión que pertenecen al entorno
. El argumento del párrafo anterior nos muestra que la propiedad es válida para
. Sea
el conjunto de enteros con esta propiedad y sea
. Entonces por la propiedad supuesta hallaremos
que cumple
. Evidentemente,
y así hay
enteros con esta propiedad de pertenencia y en definitiva una infinidad numerable de ellos.
A continuación vamos a probar que los límites superior e inferior son también puntos de aglomeración. Para ello debemos extender nuestra definición de límite y punto de aglomeración para incluir la posibilidad de que sean elementos de la recta real ampliada. Esto es relativamente sencillo bastará considerar que para cualquier es
,
.
Definición 3. La sucesión |
Para todo |
La definición correspondiente para una sucesión que diverge a es análoga.
Definición 4. El valor |
Para todo |
La definición para el caso es análoga.
Teorema 3. El límite inferior de una sucesión |
Prueba. Primero probaremos que el límite inferior es un punto de aglomeración. Sea . Si suponemos que
no es un punto de aglomeración de la sucesión
, entonces existe un
tal que en el entorno
sólo hay una cantidad finita de términos de la sucesión. Esto supone que fuera de dicho entorno hay una infinidad de términos. Es decir, que dado
es posible hallar un
tal que
o
o ambos casos. Recordemos que si
, entonces
por lo que para dicho
hallaremos un entero positivo
tal que
, para
.
Esto implica que no puede haber una infinidad de términos menores o iguales que . Por tanto, supondremos que existe
para el que
si
. Ahora bien, esto nos permite afirmar que
.
Pero esto es absurdo pues es cota superior de la sucesión
. Para evitar estas contradicciones,
es un punto de aglomeración de la sucesión
. Veamos ahora que es el ínfimo con esta propiedad. Sea
el conjunto de los puntos de aglomeración de la sucesión
y supongamos que existe
tal que
y
. Sea
. Hallaremos
para el que
,
lo cual nos permite afirmar que para
. Así pues en el entorno
sólo puede haber como máximo un número finito de términos de la sucesión. En concreto,
. Esto significa que
no es un punto de acumulación de
.
De forma similar se puede probar que
Teorema 4. El límite superior de una sucesión |
Para acabar deberíamos probar estos enunciados para el caso en que los límites superior e inferior sean o
. Pero lo dejaremos para una próxima entrada.