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Curso EVT. Lectura 14. Subespacios suplementarios

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Definición 1. Sean y dos subespacios de . Decimos que la suma es directa si y sólo si cada vector del conjunto se puede escribir de una sola forma (excepto por el orden) como suma de un vector de y otro de .

En el caso de que la suma de y sea directa escribimos en lugar de .

Teorema 1. Son equivalentes:
(a). La suma de los subespacios y es directa.
(b) Es .

Prueba. Supongamos que la suma es directa. Como el vector cero pertenece a todo subespacio, es . Si existe otro elemento perteneciente a , entonces y por lo que y tenemos que . Esto significa que el cero se puede obtener de dos formas diferentes como suma de un elemento de y otro de . Para evitar esta contradicción concluimos que y (a) implica (b). Sea cierto (b) y supongamos que para existen y , tales que . En tal caso , por lo que y concluimos que y . Esto prueba que la suma es directa y (b) implica (a) terminando nuestra demostración.

Definición 2. Dos subespacios y de se dice que son suplementarios si .

Como consecuencia del teorema 1 tenemos el siguiente resultado.

Corolario 1. Dados dos subespacios y de , son equivalentes:
(a) y son suplementarios.
(b) y .

El siguiente resultado garantiza la existencia de subespacios suplementarios a uno dado.

Teorema 2. Si es un subespacio de , hallaremos al menos un subespacio de tal que .

Prueba. Sea el subespacio trivial. Bastará elegir para obtener un suplementario. En el caso de que se invierten los papeles y bastará elegir . Supongamos que no es el subespacio trivial ni tampoco . En tal caso, si es una base de Hamel de resulta un conjunto linealmente independiente y podemos entonces hallar una base de Hamel de que incluya a . Probaremos que es el subespacio suplementario de . En efecto, si pertenece a se expresa como combinación lineal finita de elementos de por lo que es evidente que es resultado de la suma de un elemento de y otro de . Así pues, . Finalmente, si existiera un elemento no nulo en , dicho elemento sería combinación lineal finita con escalares no nulos de elementos de los conjuntos y a un tiempo, por lo que igualando sus expresiones podríamos obtener el vector cero de forma no trivial con elementos de y la base sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Así pues, y esto termina la demostración.

Una consecuencia directa de la demostración del teorema anterior hace referencia a las dimensiones.

Corolario 2. Si , entonces .

Prueba. En efecto, sea . Si es la base de Hamel de que incluye a la base de , sabemos que es una base de , disjunta con . Por tanto, .

Vamos a definir la suma directa para una familia cualquiera de subespacios.

Definición 3. Sea una familia no vacía de subespacios de . Decimos que la suma es directa si cada admite una única expresión como suma finita de elementos de .

Escribiremos para indicar la suma directa de la familia de subespacios .

Teorema 3. Sea una familia no vacía de subespacios de . Son equivalentes:
(a) La suma es directa.
(b) Para cada de es .

Prueba. Supongamos que la suma es directa y que existe al menos un de y un vector tales que . En tal caso, y , serían dos expresiones diferentes de como suma finita de elementos de , ya que en la primera y en la segunda para . Para evitar esta contradicción será , de donde (a) implica (b). Sea cierto (b) y sea un elemento de la suma tal que , con . Tomando podemos hacer más homogénea la representación de . Bastará escribir ceros para completar los sumandos en el caso que corresponda. Así pues, queda . En consecuencia, . Ahora bien, esto significa que para cada es . Aplicando (b) concluimos entonces que y variando tenemos que para todo . Por tanto, (b) implica (a) y termina la demostración.

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