MATEMATICAS.NET

Problemas resueltos (Carothers). (12)

Anuncios

22. Sea una sucesión de números reales. Definimos una sucesión de subconjuntos de mediante

.

La sucesión está bien definida y verifica , para todo . Si recordamos que todo conjunto no vacío de números reales tiene supremo e ínfimo en la recta ampliada (pues si no está acotado superiormente su supremo es y si no está acotado inferiormente su ínfimo es ), podemos definir las sucesiones

.
.

Por supuesto, tales sucesiones están formadas por elementos de la recta real ampliada, y como la sucesión es decreciente resulta que y , por lo que es creciente y decreciente. Además, verifican , para todo , y también para todo y para todo . Por tanto, podemos asegurar la existencia de sus límites (siempre en la recta ampliada) y podemos afirmar que

.

23. Supongamos que . Entonces

para todo existe un entero positivo , tal que.
, si .

Esto significa que si , el conjunto está acotado superiormente por e inferiormente por , luego

, si

Como el supremo es la menor de cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores tenemos que

Aplicando el resultado del ejercicio 22, tenemos para todo que

Lo que prueba que .
24. Sabemos que si es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

.

Por tanto,

25. Supongamos que . En ese caso la sucesión decreciente no está acotada inferiormente y de esto deducimos que para todo existe un entero positivo tal que

.

Por tanto, si y .

Supongamos ahora que . Como , resultará que , para cada y los conjuntos no estarán acotados superiormente. Esto permite elegir para cada un de forma que . La subsucesión así formada converge pues a .

Si es , entonces . Pero en este caso, , para todo y los conjuntos no están acotados inferiormente. Por tanto, para cada entero positivo , existe un , tal que . La subsucesión así obtenida es divergente a .

Finalmente, si , entonces y la sucesión no está acotada superiormente. Por ello, dado existe un entero positivo para el que . Esto implica que si por lo que y la sucesión es divergente a .

Anuncios