Problemas resueltos (Carothers). (12)

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22. Sea (a_n) una sucesión de números reales. Definimos una sucesión de subconjuntos de \mathbb{R} mediante

S_n = \{ a_k : k \geq n\}.

La sucesión (S_n) está bien definida y verifica S_{n+1} \subset S_n, para todo n. Si recordamos que todo conjunto no vacío de números reales tiene supremo e ínfimo en la recta ampliada (pues si no está acotado superiormente su supremo es +\infty y si no está acotado inferiormente su ínfimo es -\infty), podemos definir las sucesiones

t_n = \inf S_n.
T_n = \sup S_n.

Por supuesto, tales sucesiones están formadas por elementos de la recta real ampliada, y como la sucesión (S_n) es decreciente resulta que \inf S_n = t_{n} \leq t_{n+1} = \inf S_{n+1} y \sup S_{n+1} = T_{n+1} \leq T_n = \sup S_n, por lo que (t_n) es creciente y (T_n) decreciente. Además, verifican t_1 \leq t_n \leq T_n \leq T_1, para todo n, y también t_i \leq T_j para todo i y para todo j. Por tanto, podemos asegurar la existencia de sus límites (siempre en la recta ampliada) y podemos afirmar que

t_1 = \inf a_n \leq \sup t_n = \lim \inf a_n \leq \inf T_n = \lim \sup T_n \leq \sup a_n =T_1.

23. Supongamos que \lim_n a_n = l. Entonces

para todo \epsilon >0 existe un entero positivo N, tal que.
|a_n-l| < \epsilon, si n \geq N.

Esto significa que si n \geq N, el conjunto S_n está acotado superiormente por l+\epsilon e inferiormente por l-\epsilon, luego

l-\epsilon \leq t_n \leq T_n \leq l+\epsilon, si n \geq N

Como el supremo es la menor de cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores tenemos que

\lim \inf a_n = \sup t_n \geq t_n \geq l-\epsilon
\lim \sup a_n = \inf T_n \leq T_n \leq l+\epsilon

Aplicando el resultado del ejercicio 22, tenemos para todo \epsilon >0 que

l-\epsilon \leq \lim \inf a_n \leq \lim \sup a_n \leq l+\epsilon

Lo que prueba que l=\lim a_n = \lim \inf a_n = \lim \sup a_n.
24. Sabemos que si A es un subconjunto no vacío de la recta ampliada, entonces

\sup A= -\inf (-A).

Por tanto,

\lim \inf a_{n} = \sup_{n} \{ \inf \{a_{k}: k \geq n \} \} = -\inf_{n}\{ -\inf \{a_{k}: k \geq n \} \} =
-\inf_{n}\{ \sup \{-a_{k}: k \geq n \} \} = -\lim \sup (-a_n)

25. Supongamos que \lim \sup a_n = -\infty. En ese caso la sucesión decreciente T_n = \sup \{a_k : k \geq n \} no está acotada inferiormente y de esto deducimos que para todo M <0 existe un entero positivo N tal que

T_n = \sup \{a_k : k \geq N \} <M.

Por tanto, a_n <M si n \geq M y \lim_n a_n = -\infty.

Supongamos ahora que \lim \sup a_n = +\infty. Como \lim \sup a_n = \inf \{ \sup \{ a_k : k \geq n \} : n \geq 1 \}, resultará que T_n=\sup \{a_k : k \geq n\} = +\infty, para cada n y los conjuntos \{a_k : k \geq n \} no estarán acotados superiormente. Esto permite elegir para cada n un a_{m(n)} de forma que a_{m(n)} >n. La subsucesión a_{m(n)} así formada converge pues a +\infty.

Si es \lim \inf a_n= -\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = -\infty. Pero en este caso, \inf \{a_k : k \geq n \} = -\infty, para todo n y los conjuntos S_n = \{a_k : k \geq n \} no están acotados inferiormente. Por tanto, para cada entero positivo n, existe un m(n) \in \mathbb{N}, tal que a_{m(n)} <-n. La subsucesión así obtenida es divergente a -\infty.

Finalmente, si \lim \inf a_n =+\infty, entonces \sup \{ \inf \{a_k : k \geq n\} : n \in \mathbb{N} \} = +\infty y la sucesión \inf \{a_k : k \geq n \} no está acotada superiormente. Por ello, dado M>0 existe un entero positivo N para el que \inf \{a_k : k \geq N \} >M. Esto implica que a_n > M si n \geq N por lo que \lim a_n = +\infty y la sucesión es divergente a +\infty.

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