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Curso EVT. Lectura 13. Extensión de operaciones a subconjuntos

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En la lectura anterior sobre subespacios hemos definido la suma de subconjuntos de un espacio vectorial y hemos dado algunas de sus propiedades. Ahora vamos a extender también la operación de producto por escalares a subconjuntos.

Definición 1: Sea un subconjunto no vacío del -espacio vectorial y sea un escalar. Definimos el conjunto

Esta definición es consistente y podemos probar que si y son subconjuntos no vacíos de y escalares de , se tienen las siguientes propiedades:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. Si , entonces .

La propiedad 5 es especialmente interesante pues nos muestra que la “distributividad” de los escalares y los vectores no se da para las operaciones con conjuntos. En efecto, veamos un contraejemplo.

Contraejemplo: Sea el espacio vectorial real de los números reales con la suma y el producto usuales. Sean el conjunto y los escalares y . Entonces
,mientras que . Es decir, .

También convenimos en que para cualquier escalar .

Definición 2: Sea un subconjunto no vacío del -espacio vectorial y sea un subconjunto no vacío de . Definimos el conjunto

Esta definición es también consistente y podemos probar fácilmente que . Con esta terminología obtenemos una forma de caracterizar los subespacios concisa y completa.

Teorema 1: Un subconjunto no vacío del  -espacio vectorial es un subespacio si y sólo si para todos es

Obsérvese que . Ahora bien, como hemos exigido conjuntos no vacíos en el teorema 1, esto no implica que el vacío sea un subespacio.

Consideremos ahora las propiedades de las operaciones extendidas en el caso de aplicarse a uniones e intersecciones arbitrarias.

Teorema 2: Sea una familia no vacía de subconjuntos de . Se cumplen:
a) Para todo escalar es .

b) Si la intersección es no vacía y entonces .

c) Si es un elemento de , entonces .

d)  Si es un elemento de , entonces .

Prueba. Si la unión es vacía, todo elemento de dicha unión es vacío y entonces y también . Supongamos que la unión es no vacía y sea un elemento de . En tal caso, existe al menos un tal que . Como pertenece a la unión hallaremos al menos un de para el que y, en consecuencia, pertenece a y de aquí que pertenezca a la unión . Esto prueba que . Recíprocamente, si es un elemento de , existe al menos un tal que pertenece a y por ello para cierto es . Finalmente, como es un elemento de , concluimos que pertenece a y es . La doble inclusión nos lleva a la igualdad y esto prueba (a). Sea ahora , entonces si es no vacío, tenemos que . Análogamente, para todo de por lo que . Esto prueba (b) en este caso. Veamos ahora la otra posibilidad: . Sea . Entonces existe para todo tal que . Es decir, y, por tanto, . Para acabar, si es un elemento de , entonces pertenece a para todo y, en consecuencia pertenece a para todo . Esto es, es un elemento de . Si volvemos a multiplicar por resulta y de aquí . Esto prueba (b). Las pruebas de las afirmaciones (c) y (d) son análogas a los ya expuestas y se dejan a cargo del lector.

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