Curso EVT. Lectura 13. Extensión de operaciones a subconjuntos

En la lectura anterior sobre subespacios hemos definido la suma de subconjuntos de un espacio vectorial y hemos dado algunas de sus propiedades. Ahora vamos a extender también la operación de producto por escalares a subconjuntos.

Definición 1: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \lambda un escalar. Definimos el conjunto
\lambda A = \{ \lambda x : x \in A \}

Esta definición es consistente y podemos probar que si A y B son subconjuntos no vacíos de E y \lambda, \mu escalares de K, se tienen las siguientes propiedades:

1. 0A = \{0 \}.
2. \lambda (\mu A)= (\lambda \mu) A.
3. 1A = A, \quad (-1)A = -A.
4. \lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B.
5. (\lambda + \mu) A \subset \lambda A + \mu A.
6. Si A \subset B, entonces \lambda A \subset \lambda B.

La propiedad 5 es especialmente interesante pues nos muestra que la “distributividad” de los escalares y los vectores no se da para las operaciones con conjuntos. En efecto, veamos un contraejemplo.

Contraejemplo: Sea \mathbb{R} el espacio vectorial real de los números reales con la suma y el producto usuales. Sean el conjunto A= \{-1,0,1 \} y los escalares \lambda =1 y \mu =-1. Entonces
(\lambda + \mu) A = (1+(-1)) \{-1,0,1 \} = 0 \{-1,0,1 \} = \{0 \},mientras que \lambda A + \mu A = 1 \{-1,0,1 \} + (-1) \{-1,0,1 \} = \{-1,0,1 \} + \{1,0,-1 \} =\{-2,-1,0,1,2 \}. Es decir, \lambda A + \mu A \nsubseteqq (\lambda + \mu) A .

También convenimos en que \lambda \emptyset = \emptyset para cualquier escalar \lambda.

Definición 2: Sea A un subconjunto no vacío del K-espacio vectorial E y sea \Lambda un subconjunto no vacío de K. Definimos el conjunto
\Lambda A = \{ \lambda x : x \in A, \lambda \in \Lambda \}

Esta definición es también consistente y podemos probar fácilmente que \Lambda A = \cup_{\lambda \in \Lambda} \lambda A. Con esta terminología obtenemos una forma de caracterizar los subespacios concisa y completa.

Teorema 1: Un subconjunto no vacío S del  K-espacio vectorial E es un subespacio si y sólo si para todos \lambda, \mu \in K es
\lambda S + \mu S \subset S

Obsérvese que \lambda \emptyset +\mu \emptyset \subset \emptyset. Ahora bien, como hemos exigido conjuntos no vacíos en el teorema 1, esto no implica que el vacío sea un subespacio.

Consideremos ahora las propiedades de las operaciones extendidas en el caso de aplicarse a uniones e intersecciones arbitrarias.

Teorema 2: Sea (A_{i})_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos de E. Se cumplen:
a) Para todo escalar \lambda es \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda A_{i}.

b) Si la intersección \cap_{i \in I} A_{i} es no vacía y \lambda \in K entonces \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} \lambda A_{i}.

c) Si x es un elemento de E, entonces x+ \cup_{i \in I} A_{i} = \cup_{i \in I} (x+A_{i}).

d)  Si x es un elemento de E, entonces x+ \cap_{i \in I} A_{i} = \cap_{i \in I} (x+A_{i}).

Prueba. Si la unión es vacía, todo elemento de dicha unión es vacío y entonces \lambda \cup_{i \in I} A_{i} = \lambda \emptyset = \emptyset y también \cup_{i \in I} \lambda A_{i} = \cup_{i \in I} \lambda \emptyset = \cup_{i \in I} \emptyset = \emptyset. Supongamos que la unión es no vacía y sea z un elemento de \lambda \cup_{i \in I} A_{i}. En tal caso, existe al menos un x \in \cup_{i \in I} A_{i} tal que z = \lambda x. Como x pertenece a la unión hallaremos al menos un i_{0} de I para el que x \in A_{i_{0}} y, en consecuencia, z = \lambda x pertenece a \lambda A_{i_{0}} y de aquí que z pertenezca a la unión \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Esto prueba que \lambda \cup_{i \in I} A_{i} \subset \cup_{i \in I} \lambda A_{i}. Recíprocamente, si u es un elemento de \cup_{i \in I} \lambda A_{i}, existe al menos un i_{1} \in I tal que u pertenece a \lambda A_{i_{1}} y por ello para cierto x \in A_{i_{1}} es u = \lambda x. Finalmente, como x es un elemento de \cup_{i \in I} A_{i}, concluimos que u pertenece a \lambda \cup_{i \in I} A_{i} y es \cup_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cup_{i \in I} A_{i} . La doble inclusión nos lleva a la igualdad y esto prueba (a). Sea ahora \lambda = 0, entonces si \cap_{i \in I} A_{i} es no vacío, tenemos que \lambda \cap_{i \in I} A_{i} = \{0 \}. Análogamente, \lambda A_{i} = \{0 \} para todo i de I por lo que \cap_{i \in I} \lambda A_{i} = \{0 \}. Esto prueba (b) en este caso. Veamos ahora la otra posibilidad: \lambda \neq 0. Sea z \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Entonces existe x \in A_{i} para todo i \in I tal que z = \lambda x. Es decir, z \in \cap_{i \in I} \lambda A_{i} y, por tanto, \lambda \cap_{i \in I} A_{i} \subset \cap_{i \in I} \lambda A_{i}. Para acabar, si u es un elemento de \cap_{i \in I} \lambda A_{i}, entonces u pertenece a \lambda A_{i} para todo i \in I y, en consecuencia \lambda^{-1} u pertenece a (\lambda^{-1})(\lambda A_{i}) = A_{i} para todo i \in I. Esto es, \lambda^{-1} u es un elemento de \cap_{i \in I} A_{i}. Si volvemos a multiplicar por \lambda resulta u \in \lambda \cap_{i \in I} A_{i} y de aquí \cap_{i \in I} \lambda A_{i} \subset \lambda \cap_{i \in I} A_{i}. Esto prueba (b). Las pruebas de las afirmaciones (c) y (d) son análogas a los ya expuestas y se dejan a cargo del lector.

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