Curso EVT. Lectura 12. Subespacios (2).

En la entrada 11 de este curso hemos probado que la intersección de subespacios de un mismo espacio vectorial siempre es un subespacio (eventualmente puede ser el subespacio trivial \{0\}). Sin embargo, la unión de subespacios no siempre es un subespacio. Para ello bastará un contraejemplo.

Contraejemplo 1.. Sea el espacio vectorial real \mathbb{R}^{2} con las operaciones usuales. Consideremos los subespacios S = \{(x,y) : x+y = 0 \} y T = \{(x,y): x-y = 0 \}. El conjunto S \cup T no es un subespacio. En efecto, si tomamos (1,-1) \in S y (1,1) \in T, su suma (2,0), no es un elemento de la unión ya que no verifica ninguna de las condiciones para pertenecer a S o a T.

La forma natural de definir el subespacio vectorial más “pequeño” que contiene a la unión de dos subespacios es utilizar la suma de estos. Pero antes debemos definir qué entendemos por suma de conjuntos de vectores.

Definición 1. Sean A y B dos subconjuntos no vacíos del K-espacio vectorial E. El conjunto suma A+B se define como el formado por las sumas x+y, donde x \in A e y \in B.

Escribiremos x+A, en lugar de \{x\}+A. Es fácil comprobar que la definición es consistente y que además verifica para cualesquiera A,B,C,D \subset E:
1. A+B = B+A.
2. A+\{0\} = A.
3. A+(B+C) = (A+B)+C.
4. Si A \subset C y B \subset D, entonces A+B \subset C+D.

Extendemos esta definición para el caso en que uno de los sumandos sea el conjunto vacío y así decimos que A+ \emptyset = \emptyset+A =A, para todo A \subset E. En particular, \emptyset+\emptyset = \emptyset. También podemos definir la suma un número finito de sumandos en base a las propiedades 1 y 3:

Definición 2. Sean A_i con i=1,2,\ldots, n, subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i=1}^{n} A_i = \{ \sum_{i=1}^{n} x_i : x_i \in A_i \}

Nuestro afán de generalidad nos lleva a definir la suma para una familia arbitraria de subconjuntos.

Definición 3. Sean (A_i)_{i \in I} una familia no vacía de subconjuntos del K-espacio vectorial E. Entonces
\sum_{i\in I} A_i = \{ \sum_{j=1}^{n} x_j : n \in \mathbb{N}, x_j \in \cup_{\in I} A_i \}

Es decir, se trata del conjunto de las sumas finitas de elementos de la unión de los conjuntos de la familia. Una vez establecidas estas definiciones vamos a probar el resultado central de esta lectura.

Teorema 1. Sean (S_i)_{i \in I} una familia no vacía de subespacios del K-espacio vectorial E. Entonces la suma \sum_{i \in I} S_i coincide con la envoltura lineal de la unión \sum_{i \in I} S_i

Prueba. Sean x e y dos elementos de \sum_{i \in I} S_{i} y sean \lambda, \mu dos escalares de K. Entonces existen enteros positivos n,m y familias finitas (x_{j})_{j=1}^{n}, (y_{k})_{k=1}^{m} de elementos de \cup_{i \in I} S_{i} tales que
x = \sum_{j=1}^{n} x_{j}, \quad y = \sum_{k=1}^{m} y_{k}.
Por tanto,
\lambda x + \mu y = \lambda \sum_{j=1}^{n} x_{j} + \mu \sum_{k=1}^{m} y_{k} = \sum_{j=1}^{n} \lambda x_{j} +\sum_{k=1}^{m} \mu y_{k}.
Ahora bien, para cada (j,k) de \{1,\ldots, n \} \times \{1, \ldots, m \} existe (i_{j}, i_{k}) de I \times I tal que x_{j} \in S_{i_{j}} e y_{k} \in S_{i_{k}}, luego \lambda x_{j} \in S_{i_{j}} y \mu y_{k} \in S_{i_{k}} (ya que la familia (S_{i})_{i \in I} está formada por subespacios de E). Esto significa que tanto \lambda x_{j} como \mu y_{k} son elementos de \cup_{i \in I} S_{i} y la combinación lineal \lambda x + \mu y es también un elemento de \sum_{i \in I} S_{i} pues se reduce a una suma finita de elementos de la unión de la familia de subespacios. Esto prueba que \sum_{i \in I} S_{i} es un subespacio de E.

Evidentemente, para cada i de I es S_{i} un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} (bastará ver que cada x \in S_i se expresa como suma finita de elementos de la unión en la forma trivial x = x). Por tanto, \cup_{i \in I} S_{i} también es un subconjunto de \sum_{i \in I} S_{i} lo que junto con su carácter de subespacio nos lleva a afirmar que \sum_{i \in I} S_{i} pertenece a la clase \mathcal{L} (\cup_{i \in I} S_{i}) y por tanto L(\cup_{i \in I} S_{i}) \subset \sum_{i \in I} S_{i}. Para acabar, si H es un subespacio de E que incluye a \cup_{i \in I} S_{i}, entonces ha de incluir a las sumas finitas de sus elementos. Es decir, \sum_{i \in I} S_{i} \subset H y de aquí \sum_{i \in I} S_{i} \subset L(\cup_{i \in I} S_{i}). La doble inclusión nos lleva a la igualdad buscada y termina la demostración.

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