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Curso EVT. Lectura 11. Subespacios (1)

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Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo . Decimos que un subconjunto  de , no vacío, es un subespacio de si y sólo si la restricción de las operaciones de suma de vectores y producto por escalares al conjunto hace de éste un espacio vectorial sobre .

Teorema 1: Sea un subconjunto no vacío del espacio vectorial . Son equivalentes:a) es un subespacio de .

b) Para todos y todo son , elementos de .

c) El subconjunto contiene a todas las combinaciones lineales finitas de sus elementos.

d) Para todos de y para todos de es un elemento de .

Prueba: a) implica b). Como es un subespacio de , tenemos que es cerrado para las restricciones de las operaciones de suma de vectores y producto de escalares por vectores. En consecuencia, si y , se sigue que , son elementos de .

b) implica c). Haremos la prueba por inducción. Así si , con es una familia finita de elementos de , resulta por (b) que y si para fuera , entonces

.

Pero al ser y elementos de , su suma es un elemento de .

c) implica d). Es inmediato.

d) implica a).  Sean elementos de y sean , entonces es un elemento de y es un subgrupo de . Si ahora hacemos es $\lambda x$ un elemento de y el producto de escalares por vectores es cerrado cumpliéndose de forma inmediata las propiedades de este. En definitiva, es un espacio vectorial sobre con las restricciones de la suma de vectores y el producto de escalares por vectores.

Utilizando el teorema anterior podemos ver que

1. El cero es un elemento de todo subespacio de .

2. La intersección de subespacios es un subespacio.

En efecto. Si es un subespacio entonces es no vacío y tomando y es un elemento de . Si es una familia de subespacios de , entonces su intersección es no vacía pues el cero pertenece a todos ellos. Además si y , se sigue que para todo , de donde , para todo y la intersección es un subespacio por (d) del teorema anterior.

En todo espacio vectorial no trivial hay al menos dos subespacios: el propio espacio y el subconjunto . Por ello podemos dar la siguiente

Definición: Sea un -espacio vectorial y sea un subconjunto no vacío de . La clase de los subespacios que incluyen a se denota por .

Esta clase es no vacía pues . Además la intersección de todos los elementos de será un subespacio, pero no cualquier subespacio es un subespacio muy especial.

Teorema 2: Sea un -espacio vectorial y sea un subconjunto no vacío de . La intersección de todos los subespacios que incluyen a es la envoltura lineal de . En símbolos: .

Prueba: Sea la familia de todos los subespacios de que incluyen a . Sea su intersección. Evidentemente, es no vacío pues contiene a y además es un subespacio como ya hemos probado. Si depende linealmente de , entonces es combinación lineal de elementos de y por ende de elementos de por lo que pertenece a al ser este un subespacio (Ver teorema 1). Por tanto, si denotamos a la envoltura lineal de es

.

Recíprocamente, probaremos que es un subespacio vectorial de . En efecto, sean elementos de . Hallaremos familias finitas , de elementos de tales que , . En consecuencia, si , podemos escribir

, .

Pero esto significa que y , por lo que es un subespacio. Evidentemente, de se sigue que y, en consecuencia

.

Esto termina la demostración. El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema 2.

Corolario: Un subconjunto no vacío es un subespacio si y sólo si coincide con su envoltura lineal.

 

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