MATEMATICAS.NET

Ejercicios resueltos (Carothers). (11)

Anuncios

17. En primer lugar, recordemos que el valor absoluto de un número real , se define mediante

, si
si

Esto permite concluir que para todo número real . Necesitaremos de este resultado junto con el siguiente lema.

Lema. Si , entonces es equivalente a las desigualdades .
Prueba. Supongamos que . Entonces si , tenemos que . Si , entonces ,de donde multiplicando ambos miembros por y recordando que , vemos que . Recíprocamente, si fuera , entonces si , es trivialmente (pues ) y si fuera , entonces multiplicando los términos de la desigualdad por llegamos a , de donde (pues ).

Ahora demostraremos la desigualdad triangular: . Como y , tenemos sumando ambas desigualdades que

.

Lo que implica (utilizando el lema anterior con ) que .

Escribimos y usamos la desigualdad triangular para obtener

.

Análogamente (donde hemos usado el hecho de que . Las desigualdades vistas nos llevan a

, (1)

. (2)

Pero multiplicando ambos miembros de (2) por vemos que

.  (3)

Combinamos (1) y (3) para obtener y esto permite afirmar que (de nuevo hemos usado el lema anterior).

Sea , entonces y como , resulta que . En el caso de que , tenemos que y de , se sigue que . El caso es inmediato. La demostración de es análoga.

18. (a). Sea . Para es y la desigualdad es válida. Sea cierta para . Entonces y, por tanto,

.

Esto prueba que es cierta para todo .

(b). Usaremos el cociente de términos consecutivos de la sucesión (ya que está formada por valores estrictamente positivos). Simplificaremos dicho cociente hasta dejarlo en una forma en la que podamos usar la desigualdad de Bernoulli:

.

Si es , entonces , de donde , quedando

.

Esto significa que la sucesión es creciente.

(c). Como la sucesión con , es creciente y como la desigualdad implica que podemos elegir enteros tales que , tenemos que si , entonces

.

Pero entonces de esta desigualdad se sigue que

.

(d). Todo número real se puede considerar como el límite de una sucesión decreciente de números racionales. Por tanto, si , y , tenemos que y además

.

Expresión que llevada al límite nos permite afirmar que

.

19. Supongamos que . En ese caso, podemos escribir

,

donde . De esta manera, como , es

.

Esto prueba que .

Sea ahora , entonces y la sucesión está formada por términos positivos. En consecuencia, si , tenemos

.

Simplificando resulta

.

Llevando esta expresión al límite vemos que , o lo que es lo mismo .

Supongamos que . Entonces es y aplicamos el mismo razonamiento que en el ejemplo anterior para la sucesión . Es decir

,

.

Llevando esta expresión al límite vemos que . Es decir, .

20. Sean dos números positivos. Vamos a probar que

.

Para ello consideramos la desigualdad y desarrollamos:

,

,

,

,

.

Esta última desigualdad es la buscada pues equivale a . Vamos ahora a generalizar la expresión en la forma:

,

donde y , para todo . Para ya la hemos probado en párrafos anteriores. Sea cierta para , entonces

.

En este punto y con el fin de simplificar la exposición escribiremos para denotar a la media geométrica y para denotar a la suma. Así tenemos que por la hipótesis de inducción es:

.

Multiplicamos y dividimos por el miembro derecho de la desigualdad (sabemos que es no nulo pues ) y obtenemos

.

Ahora bien, resulta que y también . Sustituimos en la desigualdad anterior

.

Hacemos , lo que garantiza que , y sustituimos quedando

.

Para terminar vemos que , pues desarrollando dicha expresión tenemos que equivale a . En consecuencia,

.

Esto prueba la desigualdad buscada para todo valor de .

Notas complementarias: Notas 1, Notas 2.

Anuncios