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Ejercicios resueltos (Carothers). Ampliación (10).

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Las sucesiones recurrentes han aparecido varias veces en el capítulo “The Real Numbers” del texto de Carothers (concretamente en los ejercicios números 10, 11 y 12) . Los mecanismos que hemos empleado para resolver las cuestiones planteadas se han apoyado en las propiedades de las desigualdades, el uso de la inducción y ciertos teoremas deducidos del axioma del supremo. Sin embargo, existe una rama de las matemáticas llamada “cálculo de diferencias finitas” que se ocupa entre otros temas de las sucesiones recurrentes. Intentaremos esbozar algunos resultados generales que aplicaremos en resoluciones alternativas de de los ejercicios mencionados.

Una sucesión recurrente de orden , (siendo entero positivo) se puede definir como una -tupla: , donde son números reales que cumplen:

,

y es una función real definida sobre tal que

.

En el caso de que la función sea lineal, la metodología de resolución está bien establecida y comparte muchas características con la de las ecuaciones diferenciales.

Definición: Una sucesión recurrente de orden adopta una forma lineal y homogénea si y sólo si , donde son constantes y .

Las progresiones geométricas son sucesiones recurrentes lineales y homogéneas de orden uno. En efecto, su expresión general , con , puede obtenerse de

,

.

Este ejemplo es muy relevante ya que para resolver las sucesiones recurrentes homogéneas echaremos mano de progresiones geométricas.

Comenzamos con las sucesiones recurrentes homogéneas de orden 2:

.

Teorema: Sean y números reales. Supongamos que tiene dos raíces diferentes . Entonces la sucesión es solución de la relación de recurrencia si y sólo si , donde son constantes.

Prueba. Sea . Probaremos que es solución de la ecuación de recurrencia. En efecto, como son soluciones de la ecuación , tenemos que

.

Por tanto,

.

Esto prueba que la sucesión cumple la relación. Veamos ahora que cualquier solución de la ecuación de recurrencia tiene la forma indicada. Sea una solución y sean , constantes inicialmente dadas (son necesarias en virtud de la recurrencia pues los dos primeros términos no se pueden obtener de valores previos). Entonces probaremos que la sucesión satisface las mismas condiciones iniciales con tal de ajustar los valores de y . Basta resolver las ecuaciones

,

.

El sistema tiene solución única ya que . En definitiva, la relación de recurrencia y las condiciones iniciales dan lugar a una única solución. Esto es, .

Vamos a resolver el problema 12 correspondiente a la entrada (8) Carothers. Sabemos que y . Podemos ver fácilmente que se trata de una relación de recurrencia lineal homogéna de segundo orden. Escribimos

.

La ecuación característica es

,

que tiene por soluciones y . Por tanto,

.

Para determinar y vemos que

,

.

Un simple cálculo permite concluir que , . Sustituimos para llegar a

.

Expresión que llevada al límite da como resultado .

Existen más posibilidades de solución para las expresiones recurrentes homogénas de segundo orden. En posteriores entradas intentaremos dar una visión más completa.

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