Ejercicios resueltos (Carothers). Ampliación (10).

Las sucesiones recurrentes han aparecido varias veces en el capítulo “The Real Numbers” del texto de Carothers (concretamente en los ejercicios números 10, 11 y 12) . Los mecanismos que hemos empleado para resolver las cuestiones planteadas se han apoyado en las propiedades de las desigualdades, el uso de la inducción y ciertos teoremas deducidos del axioma del supremo. Sin embargo, existe una rama de las matemáticas llamada “cálculo de diferencias finitas” que se ocupa entre otros temas de las sucesiones recurrentes. Intentaremos esbozar algunos resultados generales que aplicaremos en resoluciones alternativas de de los ejercicios mencionados.

Una sucesión recurrente x_n de orden k , (siendo k entero positivo) se puede definir como una (k+1)-tupla: (a_1, a_2, \ldots, a_{k}, f), donde a_1, \ldots, a_k son números reales que cumplen:

x_1 = a_1, x_2 = a_2, \ldots x_n = a_n,

y f es una función real definida sobre \mathbb{R}^{k} tal que

x_{n+k}= f(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, \dots, x_{n+k-1}).

En el caso de que la función f sea lineal, la metodología de resolución está bien establecida y comparte muchas características con la de las ecuaciones diferenciales.

Definición: Una sucesión recurrente de orden k adopta una forma lineal y homogénea si y sólo si x_{n+k} = \sum_{i=1}^{k} a_i x_{n+k-i}, donde a_i son constantes y a_k \neq 0.

Las progresiones geométricas son sucesiones recurrentes lineales y homogéneas de orden uno. En efecto, su expresión general x_n = a_0 r^{n-1}, con a_0 \neq 0, puede obtenerse de

x_1 = a_0,

x_{n+1} = r x_{n}, \quad n \geq 2.

Este ejemplo es muy relevante ya que para resolver las sucesiones recurrentes homogéneas echaremos mano de progresiones geométricas.

Comenzamos con las sucesiones recurrentes homogéneas de orden 2:

x_{n+1} = a_1 x_{n} + a_2 x_{n-1}.

Teorema: Sean a_1 y a_2 números reales. Supongamos que r^2-a_1 r- a_2 =0 tiene dos raíces diferentes r_1, r_2. Entonces la sucesión x_n es solución de la relación de recurrencia x_{n+1} =a_1 x_{n}+a_2 x_{n-1} si y sólo si x_n = \alpha r_{1}^{n} + \beta r_{2}^{n}, donde \alpha, \beta son constantes.

Prueba. Sea x_n = \alpha r_{1}^{n} + \beta r_{2}^{n}. Probaremos que es solución de la ecuación de recurrencia. En efecto, como r_1, r_2 son soluciones de la ecuación r^{2}-a_1 r- a_2 =0, tenemos que

r_{1}^{2} = a_1 r_1+ a_2, r_{2}^{2} = a_1 r_2 +a_2.

Por tanto,

a_1 x_n + a_2 x_{n-1} = a_1 (\alpha r_{1}^{n} + \beta r_{2}^{n})+ a_2 (\alpha r_{1}^{n-1} + \beta r_{2}^{n-1}) = \alpha r_{1}^{n-1} (a_1 r_1 +a_2)+ \beta r_{2}^{n-1} (a_1 r_2+a_2) = \alpha r_{1}^{n-1} r_{1}^{2} + \beta r_{2}^{n-1} r_{2}^{2}= \alpha r_{1}^{n+1} + \beta r_{2}^{n+1} = x_{n+1}.

Esto prueba que la sucesión x_n cumple la relación. Veamos ahora que cualquier solución de la ecuación de recurrencia tiene la forma indicada. Sea a_n una solución y sean a_1 = C_1, a_2 = C_2, constantes inicialmente dadas (son necesarias en virtud de la recurrencia pues los dos primeros términos no se pueden obtener de valores previos). Entonces probaremos que la sucesión b_n= \alpha r_{1}^{n-1}+ \beta r_{2}^{n-1} satisface las mismas condiciones iniciales con tal de ajustar los valores de \alpha y \beta. Basta resolver las ecuaciones

b_1 = C_1 = \alpha + \beta,

b_2 = C_2 = \alpha r_1 + \beta r_2.

El sistema tiene solución única ya que r_1 \neq r_2. En definitiva, la relación de recurrencia y las condiciones iniciales dan lugar a una única solución. Esto es, a_n = b_n.

Vamos a resolver el problema 12 correspondiente a la entrada (8) Carothers. Sabemos que s_1 > s_2 >0 y s_{n+1} = \frac{1}{2} (s_n + s_{n-1}). Podemos ver fácilmente que se trata de una relación de recurrencia lineal homogéna de segundo orden. Escribimos

s_{n+1} -(1/2) s_n -(1/2) s_{n-1} = 0.

La ecuación característica es

r^{2}-(1/2)r -(1/2) = 0,

que tiene por soluciones r_1 =(-1/2) y r_2 = 1. Por tanto,

s_n = \alpha (-1/2)^{n} + \beta 1^{n}.

Para determinar \alpha y \beta vemos que

s_1 = \alpha (-1/2) + \beta,

s_2 = \alpha (1/4) + \beta.

Un simple cálculo permite concluir que \alpha = \frac{4}{3} (s_2-s_1), \beta =(1/3) s_1+ (2/3) s_2. Sustituimos para llegar a

s_n = (1/3) s_1+ (2/3) s_2 +\frac{4}{3} (-\frac{1}{2})^{n} (s_2-s_1).

Expresión que llevada al límite da como resultado \frac{1}{3} s_1 + \frac{2}{3} s_2.

Existen más posibilidades de solución para las expresiones recurrentes homogénas de segundo orden. En posteriores entradas intentaremos dar una visión más completa.

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