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Curso EVT. Lectura 10. Las nociones de base y dimensión (4)

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En la lectura 9 hemos probado que un espacio vectorial que tienen una base formada por un número finito de elementos tiene todas sus bases con el mismo cardinal. Ahora probaremos el mismo hecho para espacios vectoriales con bases que tengan un número infinito de elementos.

Teorema: Sea un espacio vectorial y sea una base de Hamel de con cardinal infinito. Entonces si es otra base de Hamel de , se tiene que el cardinal de es el mismo que el de .

Prueba. Sea un elemento de la base . Entonces hallaremos un subconjunto finito y no vacío de la base , de forma que es combinación lineal con coeficientes no nulos de elementos de . Es decir, depende linealmente de . Reiterando este proceso formamos el conjunto

,

que obviamente es un subconjunto de pues cada uno de los elementos de la unión es subconjunto de . A continuación probaremos que . Para ello nos falta la inclusión . Sea pues un elemento de . Podremos encontrar un subconjunto finito

de elementos de , cuya combinación lineal con coeficientes no nulos da lugar a . Para cada uno de los , hemos definido previamente los subconjuntos de , por lo que

es un subconjunto de que genera . Si dicho perteneciera a , entonces sería linealmente dependiente pues dependería linealmente de . Así pues y .

Llegados a este punto utilizaremos la notación para indicar el cardinal del conjunto y la notación para el cardinal de los enteros positivos. Las propiedades de los cardinales (que veremos en una ampliación a esta lectura) permiten escribir

.

Esto prueba que el cardinal de y el de son iguales.

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