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Problemas resueltos (Carothers). 9

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15. Sea una sucesión de Cauchy y supongamos que es una subsucesión de con límite igual a . Entonces dado existe un entero positivo de forma que si es

.

Pero entonces, para dicho , hallaremos de forma si , es

.

Por tanto, tomando , tenemos que si , entonces

.

Lo que prueba que la sucesión de Cauchy converge a .

Observación: Las subsucesiones se obtienen mediante funciones , estrictamente crecientes. Por ello, podemos asegurar que para todo y así .

16. (a). Si son dos números reales tales que para todo es , entonces .  Podemos justificar la igualdad mediante este hecho ya que evidentemente para todo , hallaremos tal que con

.

Otra justificación de este hecho sería considerar la expresión en base diez en la forma:

.

Al desarrollar la parte del sumatorio tenemos

.

Si llevamos al límite dicha expresión y sustituimos, tenemos

.

(b). Supongamos que . Entonces

.

Luego

,

,

.

(c). Todos aquellos decimales que tengan como período el número 9 admitirán más de una representación decimal. Por ejemplo,

,

.

La razón es la vista en el apartado (a).

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