Problemas resueltos (Carothers). 9

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15. Sea x_n una sucesión de Cauchy y supongamos que x_{f(n)} es una subsucesión de x_n con límite igual a l. Entonces dado \epsilon >0 existe un entero positivo N_1 de forma que si n \geq N_1 es

|x_{f(n)} -l| <\frac{\epsilon}{2}.

Pero entonces, para dicho \epsilon >0, hallaremos N_2 de forma si n,m \geq N_2, es

|x_n -x_m| < \frac{\epsilon}{2}.

Por tanto, tomando N = \max \{N_1,N_2 \} , tenemos que si n \geq N, entonces

|x_n -l| = |x_n -x_{f(n)}|+|x_{f(n)}-l| < \epsilon.

Lo que prueba que la sucesión de Cauchy converge a l.

Observación: Las subsucesiones se obtienen mediante funciones f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, estrictamente crecientes. Por ello, podemos asegurar que f(n) \geq n para todo n y así m=f(n) \geq n \geq N.

16. (a). Si x,y son dos números reales tales que para todo \epsilon >0 es |x-y|< \epsilon, entonces x=y.  Podemos justificar la igualdad 0.499999 \ldots = 5 mediante este hecho ya que evidentemente para todo \epsilon >0, hallaremos n tal que \frac{1}{10^{n}} < \epsilon con

|5-0.49999...| < \frac{1}{10^{n}} < \epsilon.

Otra justificación de este hecho sería considerar la expresión en base diez en la forma:

0.4999 ... = 4 \cdot 10^{-1} + \lim_n \sum_{k=1}^{n} 9 \cdot 10^{-(k+1)}.

Al desarrollar la parte del sumatorio tenemos

\frac{9}{10} \sum_{k=1}^{n} 10^{-k}=\frac{9}{10}\frac{10^{-1} -10^{-n-1}}{1-10^{-1}} = \frac{1}{10} - (\frac{1}{10})^{n+1}.

Si llevamos al límite dicha expresión y sustituimos, tenemos

0.4999... = \frac{4}{10} +\frac{1}{10} =\frac{5}{10} = 0.5.

(b). Supongamos que x = 0.234 234 234 .... Entonces

1000 x = 234. 234 234 ....

Luego

1000 x - x = 234.234 234 ... - 0.234 234 ...,

999 x = 234,

x =\frac{234}{999}.

(c). Todos aquellos decimales que tengan como período el número 9 admitirán más de una representación decimal. Por ejemplo,

0,2999999 .... = 0,3,

0,357899999 ... = 0,3579.

La razón es la vista en el apartado (a).

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