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Curso EVT. Lectura 9. Las nociones de base y dimensión (3)

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Vamos a probar que todas las bases de un determinado espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Para ello, necesitaremos de algunos resultados previos. Comenzaremos con el caso en el que el espacio vectorial tiene una base formada por un número finito de vectores.

(1) Sea un entero positivo y una familia de vectores no nulos de un espacio vectorial . Son equivalentes:
(i) La familia es linealmente dependiente.
(ii) Existe un índice , tal que que es combinación lineal de la familia .
Prueba:  (i) implica (ii). Supongamos que la familia es linealmente dependiente. Hallaremos entonces que existe una subfamilia que verifica
,
siendo no todos los nulos. Sea . Entonces
.
Si , entonces , con . Pero esto no es posible pues entonces y la familia contiene un vector nulo en contra de lo supuesto. Por tanto, y podemos escribir
.

(ii) implica (i). Es evidente.

(2) Supongamos que la familia genera el espacio vectorial . Entonces:

(a) Si , entonces es linealmente dependiente.

(b) Si uno de los vectores de la familia es combinación lineal del resto de los vectores de dicha familia, entonces genera .

Prueba. (a). Como depende de se sigue que  es linealmente dependiente (ver lectura 5).

(b). Supongamos que depende linealmente de . Entonces

.

Si consideramos un vector , entonces dicho vector es una combinación lineal de la familia , por lo que si en la combinación lineal interviene podemos sustituir su expresión por la combinación anterior y obtendremos que depende linealmente de . Esto prueba que dicha familia genera .

(3). Supongamos que genera el vectorial no trivial . Entonces si es una familia linealmente independiente de elementos de , se tiene que .

Prueba. Sea la familia

.

Entonces por (2), dicha familia es linealmente dependiente y por (1) hallaremos que un vector depende linealmente de los vectores . Ahora bien, por (2) podemos eliminar el vector y conseguiremos que la familia también genere . Repitiendo el argumento para el vector tenemos que

,

es una familia linealmente dependiente por lo que existe que depende linealmente de los vectores anteriores a él (no puede tratarse de pues la familia es linealmente independiente. Prescindiendo de dicho vector tenemos que

es una familia que genera . Si fuera , entonces tras pasos llegaríamos a la familia

,

la cual al ser un sistema generador permitiría obtener y, en consecuencia sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, .

Teorema. Sea un espacio vectorial no trivial y sea una base de Hamel de , entonces si es otra base de Hamel de se tiene que el cardinal (número de elementos) de es igual a .

Prueba. Supongamos que tiene más de vectores. Entonces por (3) concluimos que es linealmente dependiente. Pero esto contradice su carácter de base por lo que tendrá o menos vectores. Recíprocamente, si contiene menos de vectores, entonces por (3) ha de ser linealmente dependiente en contra de lo supuesto. En consecuencia, contiene exactamente vectores.

Este resultado justifica la definición de dimensión para un espacio vectorial con una base de cardinal finito. La dimensión de dicho espacio es el número de vectores de una cualquiera de sus bases.

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