Curso EVT. Lectura 9. Las nociones de base y dimensión (3)

Vamos a probar que todas las bases de un determinado espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. Para ello, necesitaremos de algunos resultados previos. Comenzaremos con el caso en el que el espacio vectorial tiene una base formada por un número finito de vectores.

(1) Sea n un entero positivo y (x_i)_{i=1}^{n} una familia de vectores no nulos de un espacio vectorial E. Son equivalentes:
(i) La familia es linealmente dependiente.
(ii) Existe un índice j>1, tal que x_{j} que es combinación lineal de la familia (x_i)_{i=1}^{j}.
Prueba:  (i) implica (ii). Supongamos que la familia es linealmente dependiente. Hallaremos entonces que existe una subfamilia (x_k)_{k \in K} que verifica
\sum_{k \in K} \lambda_k x_k =0,
siendo no todos los \lambda_k nulos. Sea j = \max \{k \in K : \lambda_k \neq 0 \}. Entonces
\sum_{k=1}^{j} \lambda_k x_k = 0.
Si j=1, entonces \lambda_1 x_k =0, con \lambda_1 \neq 0. Pero esto no es posible pues entonces x_1 = 0 y la familia (x_i)_{i=1}^{n} contiene un vector nulo en contra de lo supuesto. Por tanto, j>1 y podemos escribir
x_j = -\sum_{k=1}^{j-1} (\lambda_{j}^{-1} \lambda_k) x_k.

(ii) implica (i). Es evidente.

(2) Supongamos que la familia (x_i)_{i=1}^{n} genera el espacio vectorial E. Entonces:

(a) Si w \in E, entonces (x_i)_{i=1}^{n} \cup (w) es linealmente dependiente.

(b) Si uno de los vectores x_j de la familia es combinación lineal del resto de los vectores de dicha familia, entonces (x_i)_{i =1, i \neq j}^{n} genera E.

Prueba. (a). Como w depende de (x_i)_{i=1}^{n} se sigue que (x_i)_{i=1}^{n} \cup (w) es linealmente dependiente (ver lectura 5).

(b). Supongamos que x_j depende linealmente de (x_i)_{i=1,i \neq j}^{n}. Entonces

x_j = \sum_{i=1, i \neq j} \lambda_i x_i .

Si consideramos un vector w \in E, entonces dicho vector es una combinación lineal de la familia (x_i)_{i =1}^{n}, por lo que si en la combinación lineal interviene x_j podemos sustituir su expresión por la combinación anterior y obtendremos que w depende linealmente de (x_i)_{i=1,i \neq j}^{n}. Esto prueba que dicha familia genera E.

(3). Supongamos que (x_i)_{i=1}^{n} genera el vectorial no trivial E. Entonces si (w_k)_{k=1}^{m} es una familia linealmente independiente de elementos de E, se tiene que m \leq n.

Prueba. Sea la familia

(w_1, x_1, \ldots, x_n).

Entonces por (2), dicha familia es linealmente dependiente y por (1) hallaremos que un vector x_{j_{1}} depende linealmente de los vectores w_1, x_1, \ldots, x_{j_{1}-1}. Ahora bien, por (2) podemos eliminar el vector x_{j_{1}} y conseguiremos que la familia también genere E. Repitiendo el argumento para el vector w_2 tenemos que

(x_i)_{i =1, \neq j_1} \cup (w_1, w_2),

es una familia linealmente dependiente por lo que existe x_{j_{2}} que depende linealmente de los vectores anteriores a él (no puede tratarse de w_2 pues la familia (w_k)_{k=1}^{n} es linealmente independiente. Prescindiendo de dicho vector tenemos que

(x_i)_{i =1, \neq j_1,j_2} \cup (w_1, w_2)

es una familia que genera E. Si fuera m >n, entonces tras n pasos llegaríamos a la familia

(w_1, w_2, \ldots, w_n),

la cual al ser un sistema generador permitiría obtener w_{n+1} y, en consecuencia (w_k)_{k=1}^{m} sería linealmente dependiente en contra de lo supuesto. Por ello, m \leq n.

Teorema. Sea E un espacio vectorial no trivial y sea B =(x_i)_{i=1}^{n} una base de Hamel de E, entonces si C es otra base de Hamel de E se tiene que el cardinal (número de elementos) de C es igual a n.

Prueba. Supongamos que C tiene más de n vectores. Entonces por (3) concluimos que es linealmente dependiente. Pero esto contradice su carácter de base por lo que C tendrá n o menos vectores. Recíprocamente, si C contiene menos de n vectores, entonces por (3) B ha de ser linealmente dependiente en contra de lo supuesto. En consecuencia, C contiene exactamente n vectores.

Este resultado justifica la definición de dimensión para un espacio vectorial con una base de cardinal finito. La dimensión de dicho espacio es el número de vectores de una cualquiera de sus bases.

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