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Problemas resueltos (Carothers). (8)

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Solución: 

12. Consideremos las subsucesiones de los términos impares y la de los términos pares . Si queremos que la sucesión converja debemos probar que ambas sucesiones convergen y que lo hacen al mismo valor. Estudiamos la sucesión de sus diferencias comenzando con la subsucesión de los términos impares.

Para , resulta .

Para , resulta

Esto parece darnos una pauta. Conjeturamos que

. (1)

Probamos por inducción sobre . Para está ya probado en párrafos anteriores. Sea cierto para . Entonces

,

mientras que para tenemos que

. (2)

Ahora bien, como

,

tenemos que

.

Sustituyendo en (2), y aplicando la hipótesis de inducción, obtenemos

.

Como , la sucesión es negativa y la subsucesión de los términos impares es decreciente. Para probar que la subsucesión de los términos pares es creciente vamos a escribir las diferencias generales:

, (3)

. (4)

Observemos que al sumar y resulta

.

Es decir,

.

En símbolos, y como es decreciente, resulta que es creciente, con

. (5)

Además, las expresiones obtenidas nos van a permitir dar directamente el valor del límite de dichas subsucesiones. En efecto, sumando desde hasta en (1), resulta

,

.

Recordemos la expresión para la suma de una serie geométrica:

Por tanto,

.

Expresión que llevada al límite resulta

.

Del mismo modo, tenemos que sumando desde 1 hasta en (5)

,

.

Llevando esta última expresión hasta el límite

.

En consecuencia, la sucesión es convergente a

.

13. Sea . Como , para todo , resulta que

,

y la sucesión es creciente. Si estuviera acotada superiormente sería convergente con límite igual a . Si no está acotada superiormente entonces no tiene límite en la recta real ya que si fuera tal límite, tendríamos que para dado, hallaríamos un entero positivo tal que si . Por tanto, tomando

,

resultaría que , para todo y estaría acotada superiormente en contra de lo supuesto.

14. Supongamos que es una sucesión convergente y que es su límite. Entonces para , hallaremos un entero positivo , de forma que

,

si . Tomando , vemos que

.

Esto prueba que de Cauchy. Supongamos ahora que es de Cauchy. Probaremos que está acotada. En efecto, sea . Hallaremos un entero postivo , de forma que si se tiene

.

Esto significa que haciendo , es para todo ,

,

.

Tomando y , vemos que la sucesión está acotada superior e inferiormente por y , respectivamente.

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