Problemas resueltos (Carothers). (8)

Carothers-12-14Solución: 

12. Consideremos las subsucesiones de los términos impares s_{2n-1} y la de los términos pares s_{2n}. Si queremos que la sucesión converja debemos probar que ambas sucesiones convergen y que lo hacen al mismo valor. Estudiamos la sucesión de sus diferencias comenzando con la subsucesión de los términos impares.

Para n=1, resulta s_{3}-s_{1} = \frac{1}{2} (s_2+s_1)-s_1 = \frac{1}{2} (s_2-s_1) = \frac{1}{2^{2 \cdot 1-1}} (s_2-s_1).

Para n=2, resulta s_{5}-s_{3} = \frac{1}{2}(s_4+s_3)-s_3 =\frac{1}{2}(s_4-s_3)=\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (s_3+s_2)-s_3) =\frac{1}{4} (s_2-s_3) = \frac{1}{4} (s_2-\frac{1}{2}(s_2+s_1)) =\frac{1}{8}(s_2-s_1)=\frac{1}{2^{2 \cdot 2-1}}(s_2-s_1)

Esto parece darnos una pauta. Conjeturamos que

s_{2n+1}-s_{2n-1} = \frac{1}{2^{2n-1}} (s_2-s_1). (1)

Probamos por inducción sobre n. Para n=1 está ya probado en párrafos anteriores. Sea cierto para n=r. Entonces

s_{2r+1}-s_{2r-1}= \frac{1}{2^{2r-1}} (s_2-s_1),

mientras que para n=r+1 tenemos que

s_{2r+3}-s_{2r+1} = \frac{1}{2} (s_{2r+2}+s_{2r+1})-s_{2r+1} = \frac{1}{2}(s_{2r+2}-s_{2r+1}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (s_{2r+1}+s_{2r})-s_{2r+1}) = \frac{1}{4} (s_{2r}-s_{2r+1}) = \frac{1}{4} (s_{2r}-\frac{1}{2} (s_{2r}+s_{2r-1}) )= \frac{1}{8} (s_{2r}-s_{2r-1}). (2)

Ahora bien, como

s_{2r+1} = \frac{1}{2} (s_{2r}+s_{2r-1}),

tenemos que

s_{2r} = 2s_{2r+1}-s_{2r-1}.

Sustituyendo en (2), y aplicando la hipótesis de inducción, obtenemos

s_{2r+3}-s_{2r+1} = \frac{1}{8}(2s_{2r+1}-2s_{2r-1})= \frac{1}{4}(\frac{1}{2^{2r-1}})(s_2-s_1) = \frac{1}{2^{2(r+1)-1}}(s_2-s_1).

Como s_1 >s_2, la sucesión b_n = s_{2n+1}-s_{2n-1} = \frac{1}{2^{2n-1}}(s_2-s_1) es negativa y la subsucesión de los términos impares es decreciente. Para probar que la subsucesión de los términos pares es creciente vamos a escribir las diferencias generales:

b_n =s_{2n+1} -s_{2n-1} = \frac{1}{2}(s_{2n}+s_{2n-1})-s_{2n-1} = \frac{1}{2}(s_{2n}-s_{2n-1}), (3)

c_n =s_{2n+2}-s_{2n} = \frac{1}{2}(s_{2n+1}+s_{2n})-s_{2n} = \frac{1}{2}(s_{2n+1}-s_{2n}). (4)

Observemos que al sumar b_n y c_n resulta

(s_{2n+1}-s_{2n-1})+(s_{2n+2}-s_{2n}) =\frac{1}{2}(s_{2n+1}-s_{2n-1}).

Es decir,

s_{2n+2}-s_{2n} = -\frac{1}{2} (s_{2n+1}-s_{2n-1}).

En símbolos, c_n = -\frac{1}{2} b_n y como b_n es decreciente, resulta que c_n es creciente, con

s_{2n+2}-s_{2n} = (s_1-s_2) \frac{1}{2^{2n}}. (5)

Además, las expresiones obtenidas nos van a permitir dar directamente el valor del límite de dichas subsucesiones. En efecto, sumando desde k=1 hasta k=n en (1), resulta

\sum_{k=1}^{n} s_{2k+1}-s_{2k-1} = (s_2-s_1) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{2k-1}},

s_{2n+1} -s_1 = 2(s_2-s_1) \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{4})^{k}.

Recordemos la expresión para la suma de una serie geométrica:

\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{4})^{k} =\frac{(1/4)-(1/4)^{n+1}}{3/4}

Por tanto,

s_{2n+1}-s_1 =2(s_2-s_1) \frac{(1/4)-(1/4)^{n+1}}{3/4}.

Expresión que llevada al límite resulta

\lim s_{2n+1} = s_1+ \frac{2}{3} (s_2-s_1)=\frac{1}{3} s_1 +\frac{2}{3}s_2 .

Del mismo modo, tenemos que sumando desde 1 hasta n en (5)

\sum_{k=1}^{n} s_{2k+2}-s_{2k} = (s_1-s_2) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}},

s_{2n+2}-s_2 = (s_1-s_2) \frac{(1/4)-(1/4)^{n+1}}{(3/4)}.

Llevando esta última expresión hasta el límite

\lim_n s_{2n+2} = s_2+(1/3)(s_1-s_2) = \frac{1}{3} s_1 + \frac{2}{3} s_2.

En consecuencia, la sucesión s_n es convergente a

\frac{1}{3} s_1+\frac{2}{3} s_2.

13. Sea s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i. Como a_n \geq 0, para todo n, resulta que

s_{n+1} = \sum_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1} \geq \sum_{i=1}^{n} a_i = s_n,

y la sucesión es creciente. Si estuviera acotada superiormente sería convergente con límite igual a \sup_n \{s_n \}. Si no está acotada superiormente entonces no tiene límite en la recta real ya que si l \in \mathbb{R} fuera tal límite, tendríamos que para \epsilon >0 dado, hallaríamos un entero positivo n_0 tal que s_n \leq l+\epsilon si n \geq n_0. Por tanto, tomando

M = \sup (\{s_n : n < n_0 \} \cup \{l+\epsilon\}),

resultaría que s_n \leq M, para todo n y s_n estaría acotada superiormente en contra de lo supuesto.

14. Supongamos que x_n es una sucesión convergente y que l \in \mathbb{R} es su límite. Entonces para \epsilon >0, hallaremos un entero positivo N, de forma que

|x_n -l| < \frac{\epsilon}{2},

si n \geq N. Tomando n,m \geq N, vemos que

|x_n - x_m| = |x_n -l +l -x_m| \leq |x_n -l|+ |x_m -l| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon.

Esto prueba que x_n de Cauchy. Supongamos ahora que x_n es de Cauchy. Probaremos que está acotada. En efecto, sea \epsilon =1 >0. Hallaremos un entero postivo N, de forma que si n,m \geq N se tiene

|x_n - x_m| < 1.

Esto significa que haciendo m=N, es para todo n \geq N,

-1<x_n -x_N < 1,

x_N -1 < x_n < 1+x_N.

Tomando U = \sup (\{x_n : n \leq N \} \cup \{1+X_N \}) y L = \inf ( \{x_n : n \leq N \} \cup \{ x_N -1 \}), vemos que la sucesión está acotada superior e inferiormente por U y L, respectivamente.

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