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El principio arquimediano y sus equivalencias

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En el cuerpo de los números reales sabemos que se verifica el principio arquimediano. Esto es, que dados , números reales positivos, existe al menos un entero para el que . La prueba de este hecho suele derivarse del axioma del supremo. También se suele utilizar el principio arquimediano para probar que el conjunto de los racionales es denso en los reales. En esta entrada vamos a partir del contexto más general de un cuerpo ordenado cualquiera y vamos a demostrar que el principio arquimediano es en realidad equivalente a la densidad de los racionales, los cuales se hallan presentes en dicho cuerpo mediante el isomorfismo natural.

Teorema: Sea un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Son equivalentes

(a) Para todo , existe un entero positivo , tal que .

(b) Para todos de , con , podemos hallar un entero positivo que verifica .

(c) Para todo , existe un entero positivo , tal que .

(d) El conjunto de los racionales de es denso en .

Demostración. (a) implica (b). Como , concluimos que existe por lo que tomando y aplicando (a) vemos que existe un entero positivo que cumple

.

Multiplicando ambos miembros por llegamos a . El lector debe observar que esta desigualdad es equivalente a la que hemos dado para el caso de los números reales.

(b) implica (c). Sean e . En virtud de (b), existe para el que

.

Es decir, .

(c) implica (d). Este apartado es el más complicado de probar. Hemos de concluir que para todo existe un racional , de forma que . Vamos a analizar cuatro casos:

(1) Si es . La conclusión es inmediata haciendo .

(2) Si es , tomamos y aplicando (c) existe al menos un entero positivo para el que . El valor es también positivo y aplicando de nuevo (c), hallamos , entero positivo, que cumple , o lo que es lo mismo . Por tanto, el conjunto

es no vacío. Aplicando la buena ordenación de los naturales hallaremos un mínimo para el conjunto . Dicho mínimo será positivo (pues y permite afirmar que

,

ya que . Finalmente de

,

vemos que y este cociente de enteros es el racional buscado.

(3) Si es , entonces y aplicamos (2), con la salvedad de que si , entonces .

(4). Supongamos que . Aplicando (c) deducimos que para existe , entero positivo, que cumple . Esto significa que el racional buscado es . Si es , entonces y aplicamos lo mismo,

(d) implica (a). Sea . Si , trivialmente basta tomar y no hay nada que probar. Supongamos que . Entonces y como los racionales de son densos en , hallamos , de manera que

.

Obviamente es ,  pues . En consecuencia,

.

Esto termina la demostración.

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