El principio arquimediano y sus equivalencias

En el cuerpo de los números reales sabemos que se verifica el principio arquimediano. Esto es, que dados x,y, números reales positivos, existe al menos un entero n para el que y< nx. La prueba de este hecho suele derivarse del axioma del supremo. También se suele utilizar el principio arquimediano para probar que el conjunto de los racionales es denso en los reales. En esta entrada vamos a partir del contexto más general de un cuerpo ordenado cualquiera y vamos a demostrar que el principio arquimediano es en realidad equivalente a la densidad de los racionales, los cuales se hallan presentes en dicho cuerpo mediante el isomorfismo natural.

Teorema: Sea K un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Son equivalentes

(a) Para todo x \in K, existe un entero positivo n \in K, tal que x <n.

(b) Para todos x,y de K, con y>0, podemos hallar un entero positivo n \in K que verifica x <ny.

(c) Para todo \epsilon >0, existe un entero positivo n \in K, tal que \frac{1}{n} < \epsilon.

(d) El conjunto de los racionales de K es denso en K.

Demostración. (a) implica (b). Como y>0, concluimos que existe y^{-1} >0 por lo que tomando xy^{-1} y aplicando (a) vemos que existe un entero positivo n que cumple

xy^{-1} <n.

Multiplicando ambos miembros por y llegamos a x <ny. El lector debe observar que esta desigualdad es equivalente a la que hemos dado para el caso de los números reales.

(b) implica (c). Sean x=1 e y= \epsilon>0. En virtud de (b), existe n \in K para el que

1 <n \epsilon.

Es decir, \frac{1}{ \epsilon} <n.

(c) implica (d). Este apartado es el más complicado de probar. Hemos de concluir que para todo x<y existe un racional z \in K, de forma que x<z<y. Vamos a analizar cuatro casos:

(1) Si es x <0 <y. La conclusión es inmediata haciendo z = 0.

(2) Si es 0< x <y, tomamos \epsilon = y-x >0 y aplicando (c) existe al menos un entero positivo n \in K para el que \frac{1}{n} < y-x. El valor \frac{1}{ny} es también positivo y aplicando de nuevo (c), hallamos p, entero positivo, que cumple \frac{1}{p} < \frac{1}{ny}, o lo que es lo mismo y < \frac{p}{n}. Por tanto, el conjunto

A= \{ p \in \mathbb{N} : y \leq \frac{p}{n} \}

es no vacío. Aplicando la buena ordenación de los naturales hallaremos un mínimo q para el conjunto A. Dicho mínimo será positivo (pues y>0 y permite afirmar que

z=\frac{q-1}{n} <y,

ya que q-1 \notin A. Finalmente de

x =y-(y-x) < \frac{q}{n} -\frac{1}{n} = \frac{q-1}{n},

vemos que x < \frac{q-1}{n} <y y este cociente de enteros es el racional z buscado.

(3) Si es x <y <0, entonces 0<-y <-x y aplicamos (2), con la salvedad de que si 0<-y<z<-x, entonces x<-z<y<0.

(4). Supongamos que x=0<y. Aplicando (c) deducimos que para \epsilon =y existe n, entero positivo, que cumple x=0< \frac{1}{n} <y. Esto significa que el racional buscado es z = \frac{1}{n}. Si es x<y=0, entonces 0=y<-x y aplicamos lo mismo,

(d) implica (a). Sea x \in K. Si x <1, trivialmente basta tomar n=1 y no hay nada que probar. Supongamos que x>1. Entonces \frac{1}{x} >0 y como los racionales de K son densos en K, hallamos \frac{m}{n}, de manera que

0<\frac{m}{n} < \frac{1}{x}.

Obviamente es mx = x+x+ \ldots +x \quad (m \quad \text{veces})> x,  pues x>0. En consecuencia,

0<x <mx = \frac{m}{n} nx <\frac{1}{x} nx = n.

Esto termina la demostración.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s