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Ejercicios resueltos. (Carothers). Ampliación (7)

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Vamos a demostrar de otra manera el resultado del ejercicio 2.c de la entrada (2) correspondiente a los ejercicios resueltos del texto de N. L. Carothers.

Se trata de probar que si es un conjunto acotado y es el conjunto de sus cotas superiores, entonces

.

Como el conjunto está acotado, es obvio que el conjunto

es no vacío pues está formado por todas las cotas superiores de . Además si es un elemento cualquiera de , la definición de implica que está acotado inferiormente por . El axioma del supremo garantiza entonces la existencia del ínfimo de (la mayor de sus cotas inferiores), que denotaremos por . Como es una cota superior de , se tiene que

,

por lo que

.

Si fuera , entonces hallaríamos un elemento de forma que

.

Pero esto es imposible pues entonces no sería una cota superior mínima de . En consecuencia,

.

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